[论文解读] An ${\cal O}(n^2 \log(n))$ algorithm for the weighted stable set problem in claw-free graphs

Paolo Nobili, Antonio Sassano|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种 ${\cal O}(n^2 \log n)$ 算法来解决爪形图中的加权稳定集问题，其时间复杂度与线图的最佳已知算法相同。通过引入基于 $S$-连通团的直接分解方法，将图分解为 {爪形, 网形} 自由条带和稳定性数较低的条带，并利用这些组件的更快子程序，作者解决了 Padberg（1983）提出的长期猜想：该问题的难度不超过加权匹配问题。

ABSTRACT

A graph $G(V, E)$ is \emph{claw-free} if no vertex has three pairwise non-adjacent neighbours. The Maximum Weight Stable Set (MWSS) Problem in a claw-free graph is a natural generalization of the Matching Problem and has been shown to be polynomially solvable by Minty and Sbihi in 1980. In a remarkable paper, Faenza, Oriolo and Stauffer have shown that, in a two-step procedure, a claw-free graph can be first turned into a quasi-line graph by removing strips containing all the irregular nodes and then decomposed into \emph{\{claw, net\}-free} strips and strips with stability number at most three. Through this decomposition, the MWSS Problem can be solved in ${\cal O}(|V|(|V| \log |V| + |E|))$ time. In this paper, we describe a direct decomposition of a claw-free graph into \emph{\{claw, net\}-free} strips and strips with stability number at most three which can be performed in ${\cal O}(|V|^2)$ time. In two companion papers we showed that the MWSS Problem can be solved in ${\cal O}(|E| \log |V|)$ time in claw-free graphs with $α(G) \le 3$ and in ${\cal O}(|V| \sqrt{|E|})$ time in \{claw, net\}-free graphs with $α(G) \ge 4$. These results prove that the MWSS Problem in a claw-free graph can be solved in ${\cal O}(|V|^2 \log |V|)$ time, the same complexity of the best and long standing algorithm for the MWSS Problem in \emph{line graphs}.

研究动机与目标

• 为填补爪形图中加权稳定集问题与线图中该问题之间的复杂度差距，这一差距由 Padberg 于 1983 年提出猜想。
• 开发一种对爪形图的直接分解方法，将其分解为 {爪形, 网形} 自由条带和稳定性数至多为三的条带，避免先前工作所采用的间接两步过程。
• 实现总体时间复杂度为 ${\cal O}(n^2 \log n)$，与线图的最佳已知算法复杂度匹配。
• 改进 Faenza、Oriolo 和 Stauffer 之前建立的 ${\cal O}(|V|(|V|\log|V| + |E|))$ 上界。

提出的方法

• 引入一种特殊的极大稳定集 $S$，以指导识别 $S$-连通团，这些团推广了先前工作中使用的连通团。
• 在爪形图 $G$ 上直接执行 $S$-连通团的解耦操作，将其分解为 {爪形, 网形} 自由条带和满足 $\alpha(C) \leq 3$ 的条带。
• 构建解耦图 $G_{\cal S}$ 及每个 $Q \in {\cal S}$ 的关联图 $G_Q$，使用矩阵 $Root[\cdot, \cdot]$ 跟踪根节点和边的刚性。
• 利用现有的高效算法：对满足 $\alpha(C) \leq 3$ 的条带，时间复杂度为 ${\cal O}(|E(C)|\log|V(C)|)$；对满足 $\alpha(C) \geq 4$ 的 {爪形, 网形} 自由条带，时间复杂度为 ${\cal O}(|V(C)|\sqrt{|E(C)|})$。
• 证明整个分解过程（包括识别 $S$-连通团和构建 $G_{\cal S}$）的时间复杂度为 ${\cal O}(|V|^2)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 爪形图中的加权稳定集问题是否可以在 ${\cal O}(n^2 \log n)$ 时间内求解，其复杂度与线图的最佳算法相当？
• RQ2 是否可能在不先将图转换为拟线图的情况下，直接在爪形图上执行解耦分解？
• RQ3 能否将类似连通团的识别过程加速至 ${\cal O}(n^2)$ 时间，从而改进先前算法中 ${\cal O}(|V||E|)$ 的性能瓶颈？
• RQ4 直接分解为 {爪形, 网形} 自由条带与低稳定性条带，是否能实现与线图最佳已知复杂度相匹配的时间复杂度？

主要发现

• 所提出的算法在爪形图中以 ${\cal O}(n^2 \log n)$ 时间求解加权稳定集问题，其复杂度与线图的最佳已知算法一致。
• 基于 $S$-连通团的分解与解耦过程可在 ${\cal O}(|V|^2)$ 时间内完成，显著优于先前方法的性能瓶颈。
• 在每个条带中求解最大权稳定集问题的时间复杂度分别受 ${\cal O}(|E(C)|\log|V(C)|)$（当 $\alpha(C) \leq 3$ 时）和 ${\cal O}(|V(C)|\sqrt{|E(C)|})$（当 $\alpha(C) \geq 4$ 时）的限制，两者均可高效计算。
• 该算法的整体复杂度由线图中最大权稳定集问题的最快已知算法主导，其时间复杂度为 ${\cal O}(n^2 \log n)$。
• 结果证实了 Padberg 于 1983 年提出的猜想：爪形图中的加权稳定集问题的难度不超过加权匹配问题。