[论文解读] An Effective Decision Procedure for Linear Arithmetic with Integer and Real Variables

Bernard Boigelot, Sébastien Jodogne+1 more|ArXiv.org|Mar 20, 2003

semigroups and automata theory参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于无限字上弱自动机的实数与整数变量线性算术决策过程，证明仅需使用一类受限的自动机——具体而言，仅需确定性弱自动机。通过拓扑论证，作者简化了补集运算与确定化过程，使得该方法可在 LASH 等工具中高效实现，从而支持对混合离散与连续变量系统的验证。

ABSTRACT

This paper considers finite-automata based algorithms for handling linear arithmetic with both real and integer variables. Previous work has shown that this theory can be dealt with by using finite automata on infinite words, but this involves some difficult and delicate to implement algorithms. The contribution of this paper is to show, using topological arguments, that only a restricted class of automata on infinite words are necessary for handling real and integer linear arithmetic. This allows the use of substantially simpler algorithms, which have been successfully implemented.

研究动机与目标

• 解决使用有限自动机对同时包含实数与整数变量的线性算术公式进行决策的问题。
• 克服一般Büchi自动机在无限字上进行补集运算与确定化时的复杂性与实现困难。
• 证明在处理混合实数-整数线性算术时，仅需使用弱自动机，从而简化底层算法。
• 实现对具有无界整数与实数变量的系统（如定时系统）的决策过程的实际应用。
• 通过最小化与高效的布尔运算，利用确定性弱自动机提供一种正规形式。

提出的方法

• 使用无限字上的弱自动机表示实数与整数向量的集合，利用其在布尔运算下的封闭性。
• 通过拓扑证明，表明在混合实数-整数线性算术的决策过程中，仅需确定性弱自动机。
• 对确定化过程中的断点构造方法进行适配，其复杂度低于一般Büchi自动机的确定化方法，更为简洁高效。
• 对弱自动机应用最小化，获得一种正规形式，从而减小表示规模。
• 通过自动机构造性测试实现投影与补集运算，避免不必要的规模膨胀。
• 在 LASH 工具集中实现该方法，成功验证了其在处理非凸、周期性集合（兼具离散与连续特征）方面的实际适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限自动机在无限字上的表示是否能有效用于实数与整数变量的线性算术决策？
• RQ2 能否将此类决策过程所需的自动机类别限制为更简单的类，以简化实现并提升效率？
• RQ3 与一般Büchi自动机相比，使用弱自动机是否能实现更好的性能与更小的表示规模？
• RQ4 断点构造方法在弱自动机上的确定化是否有效，是否在实践中避免了指数级规模膨胀？
• RQ5 在该自动机基础上，布尔运算、量词消去与集合比较在多大程度上可被高效实现？

主要发现

• 仅需确定性弱自动机即可完成对实数与整数变量线性算术的决策，显著简化了理论与算法框架。
• 弱自动机的断点构造确定化方法比现有Büchi自动机方法更简单高效，复杂度从 $2^{O(n ext{log}n)}$ 降低至 $2^{O(n)}$。
• 弱自动机的最小化是可行的，可提供一种正规形式，减小表示规模并提升效率。
• 实验结果表明，投影与确定化操作在实践中不会导致指数级规模膨胀，自动机规模常在操作后减小。
• 在 LASH 工具集中的实现成功处理了非凸、周期性集合，这些集合同时包含实数与整数变量，而其他工具尚不具备此能力。
• 与 NDD（数值决策图）的对比显示，弱RVA表示在实践中表现相似，表明其具备良好的可扩展性与实用性。