[论文解读] An efficient algorithm for numerical homogenization of fluid filled porous solids: part-I

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Composite Material Mechanics被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种基于 $FE^{2}$ 的高效算法，用于通过耦合宏观有限元分析与代表性体积元（RVE）计算，对充满流体的多孔固体进行数值均质化。该方法为流体相引入了连续的位移场，并在RVE上施加周期性边界条件，以确保能量等价性，从而实现对有效宏观切线刚度和第一皮奥拉-柯西应力的精确计算。

ABSTRACT

The concept of representative volume element or RVE is invoked to develop an algorithm for numerical homogenization of fluid filled porous solids. RVE based methods decouple analysis of a composite material into analyses at the local and global levels. The local level analysis models the microstructural details to determine effective properties by applying boundary conditions to the RVE and solving the resultant boundary value problem. The composite structure is then replaced by an equivalent homogeneous material having the calculated effective properties. We combine the features of two techniques: one is the definition of a displacement field for the fluid phase to allow for a definition of a continuous displacement field across the microstructure and the other is the $FE^2$ numerical homogenization that couples the macroscale with the RVE scale via gauss points.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的数值均质化框架，用于微观尺度上固相与流体相共存的充满流体的多孔固体。
• 通过为流体相定义连续位移场，解决固相位移与流体速度之间的量纲不相容性问题。
• 通过满足希尔-曼德尔条件的周期性边界条件，确保宏观与RVE尺度问题之间的能量一致性。
• 在RVE层面实现耦合水力学-力学系统的单体求解，避免使用迭代固定应力分裂策略。
• 从RVE尺度的求解结果中计算出均质化的宏观切线刚度和第一皮奥拉-柯西应力，以供宏观有限元分析使用。

提出的方法

• 该算法采用 $FE^{2}$ 框架，其中宏观有限元网格中的每个高斯积分点均关联一个RVE。
• 对固相和流体相均采用基于位移的弱式形式，以确保微结构中位移场的连续性。
• 利用宏观变形梯度 $\mathbf{F}_M$ 和压力梯度 $\nabla_X\tilde{p}$ 对RVE施加周期性边界条件，以实现尺度分离。
• RVE尺度的方程组通过混合有限元格式求解，其中固相与流体相的自由度相互耦合，形成矩阵系统 $\begin{bmatrix}\mathbf{K}_{uu}&\mathbf{K}_{up}\\ \mathbf{K}_{pu}&\mathbf{K}_{pp}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\delta\mathbf{u}\\ \delta p\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\delta\mathbf{f}_s\\ \delta\mathbf{f}_p\end{Bmatrix}$。
• 通过体积平均边界牵引力计算均质化第一皮奥拉-柯西应力：$\delta\mathbf{P}_{s_M} = \frac{1}{|\Omega_s|}\sum_{i=1}^4 \delta\mathbf{f}_s^{(i)} \otimes \mathbf{X}^{(i)}$，流体相采用类似表达式。
• 将RVE尺度的响应组装为宏观切线刚度 $\mathbf{K}_M$，并在宏观牛顿-拉夫森迭代中用于更新变形梯度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在多孔微结构中为固相与流体相定义一致的位移场，以实现单体均质化？
• RQ2 RVE上的何种边界条件可确保满足希尔-曼德尔条件，从而实现宏观与微观尺度之间的能量等价性？
• RQ3 如何利用基于有限元的多尺度方法，高效地对充满流体的多孔固体的耦合水力学-力学行为进行均质化？
• RQ4 周期性边界条件在实现宏观模型有效且具有代表性的材料参数方面起到什么作用？
• RQ5 如何构建RVE尺度的方程组，以实现对均质化宏观切线刚度和第一皮奥拉-柯西应力的高效计算？

主要发现

• 所提出的算法成功实现了在RVE尺度上对耦合固-流问题的单体求解，避免了固定应力分裂法的收敛问题。
• RVE上的周期性边界条件被证明满足希尔-曼德尔条件，确保了尺度间能量等价性。
• 为流体相引入位移场可实现微结构中一致的运动学描述，解决了固相位移与流体速度之间的量纲不相容性问题。
• 通过体积平均边界牵引力计算均质化第一皮奥拉-柯西应力，其显式表达式以RVE尺度的力和几何参数表示。
• 宏观切线刚度 $\mathbf{K}_M$ 通过增量变形梯度和压力梯度从RVE尺度响应中组装而成，从而在宏观问题中实现一致的有限元更新。
• 该算法框架设计合理，可高效集成至现有有限元代码中，RVE计算在宏观牛顿-拉夫森迭代过程中于每个高斯积分点处执行。