[论文解读] An Efficient Algorithm for Power Dominating Set

Thomas Bläsius, Max Göttlicher|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖且高效的功率支配集（PDS）问题算法，结合了一组新的约简规则与改进的隐式击中集启发式方法。该研究证明了PDS问题是W[P]-完全的，从而解决了其参数化复杂度问题，并通过实验表明，该求解器在性能上优于以往最先进的方法一个数量级以上，能够在数分钟内求解此前难以处理的大陆规模输电网络实例。

ABSTRACT

The problem Power Dominating Set (PDS) is motivated by the placement of phasor measurement units to monitor electrical networks. It asks for a minimum set of vertices in a graph that observes all remaining vertices by exhaustively applying two observation rules. Our contribution is twofold. First, we determine the parameterized complexity of PDS by proving it is $W[P]$-complete when parameterized with respect to the solution size. We note that it was only known to be $W[2]$-hard before. Our second and main contribution is a new algorithm for PDS that efficiently solves practical instances. Our algorithm consists of two complementary parts. The first is a set of reduction rules for PDS that can also be used in conjunction with previously existing algorithms. The second is an algorithm for solving the remaining kernel based on the implicit hitting set approach. Our evaluation on a set of power grid instances from the literature shows that our solver outperforms previous state-of-the-art solvers for PDS by more than one order of magnitude on average. Furthermore, our algorithm can solve previously unsolved instances of continental scale within a few minutes.

研究动机与目标

• 通过确定其确切复杂度类，解决功率支配集（PDS）问题的参数化复杂度问题。
• 开发一种实用且高效的算法，用于求解实际输电网络监控中出现的PDS实例。
• 通过引入新的约简规则和更有效的启发式方法以识别隐式击中集框架中缺失的堡垒，改进现有求解器。
• 实现对大规模、此前未解决的大陆规模输电网络实例的求解。

提出的方法

• 通过从任意权值的电路可满足性问题约化，证明PDS问题的W[P]-完全性。
• 设计了一套全面的12条约简规则，通过移除顶点/边或预先标注顶点为选中或禁止状态，缩小PDS实例规模。
• 将约简规则作为预处理步骤，生成更小且带标注的PDS-Extension实例。
• 开发一种新的启发式方法，用于识别隐式击中集方法中的缺失堡垒，提升击中集求解器的效率。
• 将约简规则与使用Gurobi作为底层击中集求解器的隐式击中集求解器相结合。
• 在文献中提供的真实世界输电网络实例上评估完整处理流程，并与现有最优求解器进行性能对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以解的大小为参数时，功率支配集问题是否为W[P]-完全？
• RQ2 一组新的约简规则是否能显著提升现有PDS求解器的性能？
• RQ3 在隐式击中集框架中，一种识别缺失堡垒的新启发式方法是否能带来显著的性能提升？
• RQ4 所提出的算法是否能够求解大规模、此前未解决的大陆规模输电网络实例？

主要发现

• 证明了功率支配集问题为W[P]-完全，解决了其确切的参数化复杂度，表明其不在W[2]中，除非W[2] = W[P]。
• 所提出的约简规则在所有测试实例上将求解器的中位运行时间缩短了一个数量级以上。
• 用于寻找缺失堡垒的新启发式方法优于先前的最优方法，对整体性能提升有显著贡献。
• 完整算法在数分钟内求解了此前未解决的大陆规模输电网络实例，这是先前方法无法实现的。
• 即使与其他求解器结合使用，所提出的约简规则和启发式方法在大多数基准实例上仍能提供更快的求解速度。
• 该算法在相同实例上比Gurobi更快地提供功率支配数的下界。