[论文解读] An efficient algorithm for simulating ensembles of parameterized flow problems

Max Gunzburger, Nan Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖的半隐式集合算法，用于模拟具有不同粘度系数、初始条件和体力量的多个参数化不可压缩Navier-Stokes流动。通过使用相同的系数矩阵构建具有多个右端项的单一线性系统，该方法在保持一阶时间精度和最优空间收敛率的同时，实现了显著的计算节省，并在时间步长和参数偏差约束下提供了严格的稳定性与误差估计。

ABSTRACT

Many applications of computational fluid dynamics require multiple simulations of a flow under different input conditions. In this paper, a numerical algorithm is developed to efficiently determine a set of such simulations in which the individually independent members of the set are subject to different viscosity coefficients, initial conditions, and/or body forces. The proposed scheme applied to the flow ensemble leads to need to solve a single linear system with multiple right-hand sides, and thus is computationally more efficient than solving for all the simulations separately. We show that the scheme is nonlinearly and long-term stable under certain conditions on the time-step size and a parameter deviation ratio. Rigorous numerical error estimate shows the scheme is of first-order accuracy in time and optimally accurate in space. Several numerical experiments are presented to illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种高效的数值算法，用于模拟具有不同粘度系数、初始条件和体力量的参数化不可压缩流动问题集合。
• 通过求解单一具有多个右端项的线性系统，而非为每个集合成员分别求解系统，从而降低计算成本。
• 在时间步长和参数偏差比约束下，建立非线性和长期稳定性的严格理论保证。
• 通过全面的误差估计，证明所提算法具有的一阶时间精度和最优空间精度。
• 通过基准流动问题的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 对Navier-Stokes方程应用半隐式时间离散化，其中非线性对流项显式处理，粘性项和压力项隐式处理。
• 提出一种新颖的空间离散化方法，确保无论粘度、初始条件或源函数如何不同，所有集合成员均使用相同的系数矩阵。
• 在每个时间步长，得到的线性系统具有单一系数矩阵和J个右端项（每个集合成员一个），可通过块求解器高效求解。
• 采用离散能量法进行稳定性分析，并引入修正的离散Gronwall不等式以控制误差传播。
• 在多种范数下推导误差估计，包括$L^2$、$H^1$和$L^\rho$型范数，其界依赖于粘度偏差、时间步长和网格尺寸。
• 通过引入参考粘度$\overline{\nu}$并分析$|\nu_j - \overline{\nu}|$的偏差，将方法扩展至处理变粘度问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有不同粘度、初始条件和体力量的Navier-Stokes流动集合模拟构建一个具有多个右端项的单一线性系统？
• RQ2 时间步长和粘度偏差比需满足何种条件，才能保证集合格式的非线性和长期稳定性？
• RQ3 所提集合算法的时间和空间收敛率是多少？是否为最优？
• RQ4 误差界如何随粘度偏差、时间步长和网格尺寸变化？
• RQ5 与独立求解每个模拟相比，所提方法能否显著降低计算成本？

主要发现

• 所提算法在时间上达到一阶精度，速度和压力逼近在空间上实现最优$O(h^k)$收敛率，其中$k$为有限元空间的多项式阶次。
• 在时间步长和粘度偏差比满足特定包含$\overline{\nu}$与$|\nu_j - \overline{\nu}|$的边界条件下，该方法具有无条件非线性稳定性和长期稳定性。
• 误差界为$O(\Delta t^2 + h^{2k})$，常数依赖于$\overline{\nu}^{-1}$、$\|\nabla u_{j,t}\|_{L^2}$以及解的高阶导数。
• 计算成本从每个时间步求解$J$个独立线性系统降低为仅求解一个具有$J$个右端项的系统，显著提升了效率。
• 数值实验验证了理论误差估计，并展示了该方法在各种参数变化下的鲁棒性与高效性。
• 只要满足偏差比条件，即使粘度系数在集合成员间差异显著，该方法仍能保持稳定性和精度。