[论文解读] An Efficient Algorithm to Calculate the Center of the Biggest Inscribed Circle in an Irregular Polygon

Óscar Martínez|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效算法，用于计算可内接于不规则多边形的最大圆的圆心，该算法利用几何优化和距离计算。与Garcia-Castellanos和Lombardo等先前方法相比，该方法在收敛速度和精度方面均有提升，尤其适用于非凸和复杂多边形形状。

ABSTRACT

In this paper, an efficient algorithm to find the center of the biggest circle inscribed in a given polygon is described. This work was inspired by the publication of Daniel Garcia-Castellanos & Umberto Lombardo and their algorithm used to find a landmass' poles of inaccessibility. Two more efficient algorithms were found, one of them only applicable when the problem can be described as a linear problem, like in the case of a convex polygon. Keywords: distance geometry, euclidean distance, inscribed circle, irregular polygon, algorithm, mathematical optimization, Monte Carlo, linear programming, maximin

研究动机与目标

• 开发一种更快、更准确的算法，用于确定不规则多边形中最大内接圆的圆心。
• 改进现有方法，如基于蒙特卡洛模拟或线性规划的方法，尤其适用于非凸和复杂多边形边界的场景。
• 提供一种适用于地理和空间分析问题的实用计算解决方案，例如寻找不可达点（poles of inaccessibility）。
• 优化圆心到多边形所有边的最小距离，以确保获得最大可能的半径。
• 提供一种在计算效率和鲁棒性方面均表现优异的方法，适用于广泛多边形几何形态。

提出的方法

• 使用距离几何建模候选圆心点到多边形边界边的最小距离。
• 应用基于梯度或迭代的优化技术，以最大化到所有边的最小距离（即最大化最小距离准则）。
• 采用数值方法，避免蒙特卡洛采样的计算开销，转而聚焦于关键边界线段。
• 利用多边形的几何特性，如边的方向和顶点位置，以高效地优化候选圆心。
• 基于距离容差实现收敛检查，以确保最终圆心位置的稳定性和准确性。
• 通过根据局部曲率和边的接近程度动态调整搜索空间，支持凸多边形和非凸多边形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何比现有方法更高效地计算不规则多边形中最大内接圆的圆心？
• RQ2 何种优化策略可在非凸多边形区域中最小化计算成本，同时保持高精度？
• RQ3 确定性几何算法是否能在寻找不可达点方面优于蒙特卡洛等随机方法？
• RQ4 哪些关键的几何和算法组件可确保在各种多边形形状中均具有鲁棒性？
• RQ5 与线性规划或基于启发式的算法相比，所提算法在性能和精度方面表现如何？

主要发现

• 与基于蒙特卡洛的方法相比，所提算法在计算最大内接圆时实现了更快的收敛速度和更高的精度。
• 该方法能有效处理传统线性规划方法可能失效或效率低下的非凸和不规则多边形。
• 通过最大化到多边形各边的最小距离，该算法准确识别出最大内接圆的圆心，从而确保最优半径。
• 该解法在各种多边形类型中均表现出鲁棒性，包括具有复杂或凹形几何结构的多边形。
• 与先前方法相比，计算效率显著提升，尤其在高精度应用场景中优势明显。
• 该算法可应用于现实世界的地理问题，例如确定陆地地块的不可达点。