[论文解读] An efficient dynamical low-rank algorithm for the Boltzmann-BGK equation close to the compressible viscous flow regime

Lukas Einkemmer, Jingwei Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对Boltzmann-BGK方程的新型动态低秩积分器，通过将解分解为 $f = Mg$ 的形式，其中 $M$ 为麦克斯韦分布，仅对 $g$ 应用低秩近似，从而高效捕捉可压缩Navier-Stokes极限。该方法即使在可压缩区域也能实现高精度、低秩模拟，显著降低秩需求，并能稳健处理激波和陡峭梯度。

ABSTRACT

It has recently been demonstrated that dynamical low-rank algorithms can provide robust and efficient approximation to a range of kinetic equations. This is true especially if the solution is close to some asymptotic limit where it is known that the solution is low-rank. A particularly interesting case is the fluid dynamic limit that is commonly obtained in the limit of small Knudsen number. However, in this case the Maxwellian which describes the corresponding equilibrium distribution is not necessarily low-rank; because of this, the methods known in the literature are only applicable to the weakly compressible case. In this paper, we propose an efficient dynamical low-rank integrator that can capture the fluid limit -- the Navier-Stokes equations -- of the Boltzmann-BGK model even in the compressible regime. This is accomplished by writing the solution as $f=Mg$, where $M$ is the Maxwellian and the low-rank approximation is only applied to $g$. To efficiently implement this decomposition within a low-rank framework requires, in the isothermal case, that certain coefficients are evaluated using convolutions, for which fast algorithms are known. Using the proposed decomposition also has the advantage that the rank required to obtain accurate results is significantly reduced compared to the previous state of the art. We demonstrate this by performing a number of numerical experiments and also show that our method is able to capture sharp gradients/shock waves.

研究动机与目标

• 解决在可压缩粘性流区域高效模拟Boltzmann-BGK方程的挑战，传统低秩方法因麦克斯韦分布非低秩而失效。
• 开发一种鲁棒的数值框架，在广泛的Knudsen数范围内保持精度与效率，包括流体区（$\varepsilon \ll 1$）和过渡区。
• 利用低秩近似方法实现对动能流中陡峭梯度和激波的精确解析，同时保持物理行为的保真性。
• 通过利用 $f = Mg$ 分解，证明所需模拟秩显著低于以往方法。

提出的方法

• 将解分解为 $f = Mg$，其中 $M$ 为平衡态麦克斯韦分布，$g$ 为非平衡分量，仅对 $g$ 应用低秩近似。
• 采用基于投影分裂法的动态低秩积分器，演化 $g$ 的时间发展，同时保持低秩结构。
• 在等温情况下，利用基于快速傅里叶变换（FFT）的谱方法高效计算卷积型系数。
• 采用谱配点有限差分（SCFD）方法进行空间与速度域离散化，并结合迎风格式以增强对流项的稳定性。
• 利用Chapman-Enskog展开，证明该方法在小-$\varepsilon$极限下与Navier-Stokes方程的渐近一致性。
• 采用自适应时间步长策略，并通过高秩（$r=60$）或高分辨率谱方法计算的参考解对方法进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种动态低秩积分器，即使麦克斯韦分布本身非低秩，也能准确捕捉Boltzmann-BGK方程的可压缩Navier-Stokes极限？
• RQ2 $f = Mg$ 分解是否显著降低相对于直接对 $f$ 进行低秩近似所需的有效秩？
• RQ3 该方法能否在保持计算效率的同时，解析动能流中的陡峭梯度与激波？
• RQ4 该方法在不同Knudsen数下表现如何，包括空间非均匀的 $\varepsilon$ 分布？
• RQ5 在流体极限（$\varepsilon \to 0$）与过渡区（$\varepsilon \sim 0.01$）中，该方法的收敛行为与精度如何？

主要发现

• 当 $\varepsilon = 10^{-5}$ 时，该方法在秩 $r=3$ 下与参考解结果几乎无法区分，表明在流体区极低秩即可满足精度要求。
• 该方法准确捕捉了束流扰动向平衡态的指数衰减过程，对于 $\varepsilon = 0.1$ 和 $\varepsilon = 0.5$，其衰减速率与理论预测（$\sim \exp(-t/\varepsilon)$）一致。
• 在空间非均匀 $\varepsilon$ 分布的束流弛豫问题中，热化速度随 $\varepsilon$ 变化合理，验证了方法在不同物理区域的物理解释一致性。
• 在空间非均匀 $\varepsilon$ 情况下，$r=10$ 时低秩解与参考解（$r=60$）高度一致，而 $r=3$ 时出现显著误差，表明存在一个实际可用的秩阈值以保证精度。
• 该方法成功解析了爆炸问题中径向传播的激波，即使在低秩下也能保持激波前缘的锐利分辨率。
• 通过FFT实现基于卷积的系数计算，使 $f = Mg$ 分解在等温情况下的高效实现成为可能，显著降低了计算成本。