[论文解读] An efficient method to construct self-dual cyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$

Yuan Cao, Yonglin Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文提出了一种高效且显式的构造方法，用于生成有限链环 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$（其中 $u^2 = 0$）上所有长度为 $p^s$ 的不同自偶循环码，利用组合恒等式与 $\mathbb{F}_p$ 上矩阵的克罗内克积。关键贡献在于对这些码的完整表征与计数，解决了先前工作中缺乏此类码的定义方程组显式解表示的空白。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime number, $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ and $s$ a positive integer. Using some combinatorial identities, we obtain certain properties for Kronecker product of matrices over $\mathbb{F}_p$ with a specific type. On that basis, we give an explicit representation and enumeration for all distinct self-dual cyclic codes of length $p^s$ over the finite chain ring $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$. Moreover, We provide an efficient method to construct every self-dual cyclic code of length $p^s$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ precisely.

研究动机与目标

• 提供 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有长度为 $p^s$ 的不同自偶循环码的显式表示与计数，其中 $u^2 = 0$。
• 解决先前工作中未解决的关于控制此类码生成结构的方程组 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$ 的显式解构造问题。
• 开发一种高效且系统化的方法，精确构造每一个长度为 $p^s$ 的自偶循环码，避免依赖间接计数或非构造性存在性证明。
• 通过基于 $\mathbb{F}_p$ 上特定矩阵的克罗内克积的新代数框架，扩展对有限链环上自偶码的理解。
• 为未来关于自偶负循环码的研究及此类码在相同环上的最小距离界（如类似BCH的界）奠定基础。

提出的方法

• 该方法利用涉及二项式系数的组合恒等式，分析由循环码自偶性条件导出的矩阵 $M(p^s, i_1)$ 的结构。
• 创新性地使用 $\mathbb{F}_p$ 上矩阵的克罗内克积，系统生成齐次方程组 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$ 的解，其中 $\mathbf{h}$ 编码了码生成元中的 $u$-系数。
• 构造基于码生成元的参数化形式 $\langle (x-1)^{i_0} + u \sum_{j=0}^{i_1-1} h_j (x-1)^j, (x-1)^{i_1} \rangle$，其中 $p^s = i_0 + i_1$，且系数 $h_j$ 通过与预计算的克罗内克积矩阵相乘确定。
• 通过将矩阵分解为克罗内克积分量，显式构造 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$ 的解空间，从而实现所有有效 $\mathbf{h}$ 的高效且系统化的生成。
• 该方法应用于具体情形（如 $p=3, m=1, s=3$），以演示长度为 27 的所有自偶循环码的构造，包括显式生成元形式与参数依赖关系。
• 该方法具有一般性，适用于任意奇素数 $p$、正整数 $m$ 与 $s$，为所有长度为 $p^s$ 的此类码提供统一框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式表示 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有长度为 $p^s$ 的不同自偶循环码（其中 $u^2 = 0$）？
• RQ2 是否存在一种高效且构造性的方法，可生成每一个此类自偶循环码，而无需依赖间接计数？
• RQ3 如何对所有 $i_1$ 显式求解定义码生成元中 $u$-系数的方程组 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$？
• RQ4 能否利用 $\mathbb{F}_p$ 上矩阵的克罗内克积系统性地构造出自偶性条件的解？
• RQ5 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $p^s$ 的自偶循环码的完整计数是多少？其如何依赖于 $p$、$m$ 与 $s$？

主要发现

• 本文提供了 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有长度为 $p^s$ 的自偶循环码的完整且显式表示，解决了先前工作（如 [6] 和 [10]）中缺乏此类构造的空白。
• 对于 $p=3$、$m=1$、$s=3$（即长度 27），本文显式列出了 7 个不同的自偶循环码，每个均由形如 $\langle (x-1)^{i_0} + u \sum h_j(x-1)^j, (x-1)^{i_1} \rangle$ 的多项式对生成，其中 $i_0 + i_1 = 27$。
• 在 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $p^s$ 的自偶循环码的数量为 $\sum_{k=0}^{s} 3^{km}$，其中 $k$ 对应该分解 $p^s = i_0 + i_1$ 中的索引 $i_1$，该计数由 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$ 的解空间维数导出。
• 通过预计算的克罗内克积矩阵 $\Upsilon^{(i)}$，该方法构造了 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$ 的所有解 $\mathbf{h}$，并将其表示为 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上自由参数的线性组合。
• 该构造方法高效且系统化：对每个 $i_1$，解空间由 $i_1 - j$ 个自由参数参数化，且生成多项式以这些参数显式写出。
• 该方法纠正了文献 [6] 中关于 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上长度为 $2^s$ 的自偶循环码计数的第 22 条推论 (ii) 的先前错误，提供了修正且精确的公式。