[论文解读] An Efficient Multigrid Method for Ground State Solution of Bose-Einstein Condensates

Hehu Xie, Fei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种高效的多重网格方法，用于通过有限元法求解Gross-Pitaevskii方程，计算玻色-爱因斯坦凝聚体的基态。该方法采用一种新颖的非线性迭代实现方式，实现了与非线性无关的渐近最优计算工作量。该方法保持了最优收敛性与近线性复杂度，其效率与使用多重网格求解线性问题相当。

ABSTRACT

An efficient multigrid method is proposed to compute the ground state solution of Bose-Einstein condensations by the finite element method based on the combination of the multigrid method for nonlinear eigenvalue problem and an efficient implementation for the nonlinear iteration. The proposed numerical method not only has the optimal convergence rate, but also has the asymptotically optimal computational work which is independent from the nonlinearity of the problem. The independence from the nonlinearity means that the asymptotic estimate of the computational work can reach almost the same as that of solving the corresponding linear boundary value problem by the multigrid method. Some numerical experiments are provided to validate the efficiency of the proposed method.

研究动机与目标

• 开发一种更高效的数值方法，用于计算玻色-爱因斯坦凝聚体中Gross-Pitaevskii方程（GPE）的基态解。
• 克服现有针对GPE特征值问题的多重网格方法中计算成本依赖于非线性的缺陷。
• 实现渐近最优的计算复杂度，其复杂度几乎与非线性参数ζ无关。
• 将一种高效的非线性迭代技术整合到多重网格框架中，以提升可扩展性与性能。

提出的方法

• 该方法采用非维化的GPE特征值问题的有限元离散化，其弱形式涉及双线性形式a(⋅,⋅)和b(⋅,⋅)。
• 应用一种单校正步的多重网格算法，其中校正在嵌套的有限元空间层次上计算。
• 通过基于张量的运算，提出一种高效的非线性迭代实现方式，以解耦并加速每一层上非线性系统的求解。
• 该方法借鉴了先前工作的多水平校正方案，但通过一种专门设计的非线性求解器加以增强，避免了重复进行昂贵的非线性求解。
• 该算法与基于残差的后验误差估计器结合使用自适应网格加密，以处理非凸区域中的奇异性。
• 计算工作量经过分析，显示其几乎达到最优，接近使用多重网格求解相应线性问题的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过多重网格方法使求解非线性GPE特征值问题的计算成本几乎与非线性强度ζ无关？
• RQ2 如何高效地实现多重网格方法中GPE的非线性迭代，以避免高昂的计算开销？
• RQ3 所提出的方法在均匀网格与自适应网格设置下，是否既能保持最优收敛率，又能实现渐近最优的工作量？
• RQ4 该方法能否推广到其他具有多项式非线性的模型，如Navier-Stokes方程或相场模型？

主要发现

• 所提出的多重网格方法实现了渐近最优的计算工作量，其复杂度几乎与非线性参数ζ无关，趋近于求解相应线性问题的复杂度。
• 1D、2D和3D的数值实验表明，新方法的CPU时间随网格规模增长几乎呈线性关系，即使在ζ较大时也保持稳定，而文献[26]中的原始方法表现出强烈的ζ依赖性。
• 在具有凹角的L形区域上，采用自适应加密的方法仍能保持最优的收敛率与精度，证实了其对奇异性具有鲁棒性。
• 误差估计与收敛阶数与理论预测一致，且后验误差估计器能有效指导自适应加密。
• 新方法的计算工作量显著低于文献[26]中的原始多重网格方法，尤其在高非线性情况下，验证了效率的显著提升。
• 该方法可推广至其他具有多项式非线性的非线性问题，如Navier-Stokes方程与相场模型，并可作为一般非线性特征值问题的预条件子。