[论文解读] An efficient multigrid solver for isogeometric analysis

Álvaro Pé de la Riva, Carmen Rodrigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种针对等几何分析（IGA）的鲁棒几何多重网格求解器，采用基于样条次数自适应块大小的重叠乘法Schwarz平滑器。该方法在仅使用一个预平滑步骤的V循环中，实现了与样条次数$p$和网格尺寸$h$无关的收敛性，通过局部傅里叶分析和复杂几何上的数值实验得到验证。

ABSTRACT

The design of fast solvers for isogeometric analysis is receiving a lot of attention due to the challenge that offers to find an algorithm with a robust convergence with respect to the spline degree. Here, we analyze the application of geometric multigrid methods to this type of discretizations, and we propose a multigrid approach based on overlapping multiplicative Schwarz methods as smoothers. The size of the blocks considered within these relaxation procedures is adapted to the spline degree. A simple multigrid V-cycle with only one step of pre-smoothing results to be a very efficient algorithm, whose convergence is independent on the spline degree and the spatial discretization parameter. Local Fourier analysis is shown to be very useful for the understanding of the problems encountered in the design of a robust multigrid method for IGA, and it is performed to support the good convergence properties of the proposed solver. In fact, an analysis for any spline degree and an arbitrary size of the blocks within the Schwarz smoother is presented for the one-dimensional case. The efficiency of the solver is also demonstrated through several numerical experiments, including a two-dimensional problem on a nontrivial computational domain.

研究动机与目标

• 解决随着样条次数$p$增加时等几何分析中多重网格收敛性恶化的问题。
• 开发一种几何多重网格方法，使其在高阶B样条和NURBS离散化下仍保持高效和鲁棒。
• 克服标准平滑器（如高斯-赛德尔）在$p$增大时收敛性不可靠的局限性。
• 设计一种通过调整重叠Schwarz过程中块大小来适应样条次数的平滑器。
• 在复杂几何（如四分之一圆环）上验证其实际适用性。

提出的方法

• 采用仅含一个预平滑步骤的V循环结构几何多重网格框架。
• 使用块大小根据样条次数$p$动态自适应的重叠乘法Schwarz平滑器。
• 实现一种彩色版本的乘法Schwarz平滑器以提升收敛速率。
• 应用局部傅里叶分析（LFA）分析并验证1D下任意$p$和块大小的收敛行为。
• 通过B样条和NURBS精确表示几何，保持光滑性至$C^{p-1}$，构建多重网格求解器。
• 使用Galerkin等几何分析离散化得到的刚度矩阵作为待求解的线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在等几何分析中使几何多重网格方法对样条次数$p$保持鲁棒性？
• RQ2 Schwarz平滑器中块大小的选择如何影响高阶IGA离散化的收敛性？
• RQ3 在IGA中使用自适应Schwarz平滑器时，单个预平滑步骤是否足以实现鲁棒收敛？
• RQ4 局部傅里叶分析能否准确预测1D下任意$p$和块大小的多重网格求解器收敛行为？
• RQ5 所提出的求解器在非平凡计算区域（如具有NURBS几何的四分之一圆环）上是否有效？

主要发现

• 所提出的多重网格求解器在仅需四至五个$V(1,0)$-循环的情况下，即可将残差降低$10^{-8}$倍，且收敛性与样条次数$p$和网格尺寸$h$无关。
• 在四分之一圆环区域上对所有测试的样条次数$p=2$至$p=8$，迭代次数始终保持在四次或以下，证明了其鲁棒性。
• 采用$p$-自适应块大小的彩色乘法Schwarz平滑器显著提升了收敛性能，优于标准平滑器。
• 局部傅里叶分析证实了该方法在1D下对任意样条次数$p$和任意块大小均保持鲁棒性。
• 在2D问题（包括非平凡的四分之一圆环区域）上的数值实验表明，不同$p$和$h$值下性能保持一致。
• 计算时间表现出高效缩放特性，即使在高$p$和细密网格下也仅出现适度增加，证实了求解器的高效性。