[论文解读] An efficient nonnegativity preserving algorithm for multilinear systems with nonsingular M-tensors

Xueli Bai, Hongjin He+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2018

Tensor decomposition and applications被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种新颖且高效的算法，用于求解涉及非奇异M-张量和非负右端向量的多重线性系统，确保收敛到非负解。该方法通过非负递减序列保证非负性保持，当右端向量包含零元素时，其性能优于现有求解器。

ABSTRACT

This paper addresses multilinear systems of equations which arise in various applications such as data mining and numerical partial differential equations. When the multilinear system under consideration involves a nonsingular $\mathcal{M}$-tensor and a nonnegative right-hand side vector, it may have multiple nonnegative solutions. In this paper, we propose an efficient algorithm which can always preserve the nonnegativity of solutions. Theoretically, we show that the sequence generated by the proposed algorithm is a nonnegative decreasing sequence and converges to a nonnegative solution of the system. Numerical results further support the novelty of the proposed method. Particularly, when some elements of the right-hand side vector are zeros, the proposed algorithm works well while existing state-of-the-art solvers may not produce a nonnegative solution.

研究动机与目标

• 解决非奇异M-张量和非负右端向量的多重线性系统求解挑战，此类系统可能存在多个非负解。
• 开发一种保证解序列非负性的算法，避免现有方法产生的非负解。
• 即使右端向量的某些元素为零，也能确保收敛到非负解，而此类情况下的最先进求解器可能失效。

提出的方法

• 该算法生成的迭代序列被证明是非负且单调递减的。
• 采用针对非奇异M-张量结构定制的定点迭代方案，以保持非负性。
• 通过构造确保每个迭代值均位于非负卦限内，避免出现负分量。
• 利用M-张量性质和非负矩阵理论，理论上证明了收敛到非负解。
• 该方法可处理右端向量中存在零元素的情况，而其他求解器常在此类情况下无法产生非负解。
• 该方法计算效率高，每次迭代开销低，且具有强数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种迭代算法，在求解非奇异M-张量的多重线性系统时保持非负性？
• RQ2 当右端向量包含零元素时，所提方法的性能如何？此类情况可能导致现有求解器失效。
• RQ3 该算法生成的序列是否收敛到非负解？该收敛性能否被理论保证？
• RQ4 与最先进求解器相比，该方法在非负解恢复中的计算效率和鲁棒性如何？
• RQ5 该算法能否在不使用投影或校正步骤的情况下，确保所有迭代步骤均保持非负性？

主要发现

• 该算法生成的序列是非负且单调递减的，确保收敛到非负解。
• 理论分析证实，在非奇异M-张量和非负右端向量的给定条件下，收敛到非负解。
• 数值实验表明，即使其他求解器失效，该算法仍能成功生成非负解，尤其在右端向量包含零元素时表现突出。
• 在右端向量包含零分量的情况下，该方法比现有最先进求解器更具鲁棒性。
• 该算法在保证非负性的同时保持计算效率，且无需额外计算开销用于投影或校正。