[论文解读] An Efficient Polynomial Time Approximation Scheme for Minimizing the Total Weighted Completion Time on Uniformly Related Machines

Leah Epstein, Asaf Levin|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于在具有或不具有发布日期的均匀相关机器上最小化总加权完成时间的高效多项式时间近似方案（EPTAS）。作者通过时间拉伸、基于配置的动态规划以及仔细的作业分组，设计了一种新颖的近似框架，实现了在 f(1/ε)·poly(n) 时间内的 (1+ε)-近似，解决了该强 NP-难调度问题长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

We study classic scheduling problems on uniformly related machines. Efficient polynomial time approximation schemes (EPTAS's) are fast and practical approximation schemes. New methods and techniques are essential in developing such improved approximation schemes, and their design is a primary goal of this research agenda. We present EPTAS's for the scheduling problem of a set of jobs on uniformly related machines so as to minimize the total weighted completion time, both for the case with release dates and its special case without release dates. These problems are NP-hard in the strong sense, and therefore EPTAS's are the best possible approximation schemes unless P=NP. Previously, only PTAS's were known for these two problems, while an EPTAS was known only for the special case of identical machines without release dates.

研究动机与目标

• 为在均匀相关机器上最小化总加权完成时间的问题开发一种高效的多项式时间近似方案（EPTAS），该问题是强 NP-难问题。
• 将 EPTAS 扩展至此前唯一已知的 EPTAS 仅适用于相同机器的特殊情况之外。
• 同时处理具有发布日期和不具有发布日期的特殊情况，两者均为强 NP-难问题。
• 设计一种实用且快速的近似方案，优于以往运行时间不切实际的 PTAS。

提出的方法

• 通过 (1+δ) 因子的时间拉伸，将调度转换为适合基于配置的动态规划的形式。
• 根据作业的大小和发布时间对作业进行分组，并在机器之间探索可行的配置组合。
• 构建一个虚拟调度以指导作业的分配，同时对因作业重新分配和时间区间调整导致的成本增加进行严格控制。
• 算法通过预处理步骤移除小作业，并在之后重新分配它们，以确保成本增加有界。
• 区分机器上的稀疏与非稀疏时间区间，对每类分别应用不同的成本分析技术。
• 最终解通过组合部分调度、将未分配作业分配给专用机器（即“粉红机器”）构建，并利用 δ 参数控制总成本增加。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有发布日期的均匀相关机器上的总加权完成时间问题设计出 EPTAS，考虑到其强 NP-难性？
• RQ2 是否可能在 f(1/ε)·poly(n) 时间内实现 (1+ε)-近似，从而优于现有的 PTAS？
• RQ3 在因配置约束和时间区间调整而重新分配作业时，如何控制成本的增加？
• RQ4 最优解的哪些结构特性可以被利用，以设计出误差有界的基于配置的动态规划？
• RQ5 粉红机器技术能否被有效用于调度剩余作业，同时保持 (1+ε)-近似？

主要发现

• 本文为具有发布日期的均匀相关机器上的总加权完成时间问题提出了 EPTAS，实现在 f(1/ε)·poly(n) 时间内的 (1+ε)-近似。
• 该算法的成本界最多为最优解成本的 (1+δ)^3 倍，其中 δ = ε/3，从而实现 (1+ε)-近似。
• 由于作业重新分配和时间拉伸导致的总成本增加被控制在 (1+δ)^3 因子以内，当 δ = ε/3 时，该值最多为 (1+ε)。
• 由于未分配作业的总大小最多为粉红机器速度的 δ^5 倍，该方法确保未分配作业可被安排在专用机器（即“粉红机器”）上，且不会超出成本界限。
• 对于非稀疏机器，因作业大小调整导致的成本增加被控制在 (1+δ)(1+δ^13) 因子以内，该值被整体 (1+δ)^3 因子所涵盖。
• 该框架成功地将 EPTAS 扩展至具有发布日期的均匀相关机器的一般情况，此前该问题尚未有已知的 EPTAS。