[论文解读] An efficient quantum algorithm for generative machine learning

Xun Gao, Zhengyu Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 17

一句话总结

该论文提出了一种量子生成模型（QGM），通过利用纠缠多体态和专用张量网络结构，以比经典模型指数级更高效的方式表示复杂概率分布。QGM 通过在其参数化量子线路中编码通用量子计算，使某些问题的训练和推理实现指数级加速，在合理的复杂性理论假设下，证明了生成机器学习中的可证明量子优势。

ABSTRACT

A central task in the field of quantum computing is to find applications where quantum computer could provide exponential speedup over any classical computer. Machine learning represents an important field with broad applications where quantum computer may offer significant speedup. Several quantum algorithms for discriminative machine learning have been found based on efficient solving of linear algebraic problems, with potential exponential speedup in runtime under the assumption of effective input from a quantum random access memory. In machine learning, generative models represent another large class which is widely used for both supervised and unsupervised learning. Here, we propose an efficient quantum algorithm for machine learning based on a quantum generative model. We prove that our proposed model is exponentially more powerful to represent probability distributions compared with classical generative models and has exponential speedup in training and inference at least for some instances under a reasonable assumption in computational complexity theory. Our result opens a new direction for quantum machine learning and offers a remarkable example in which a quantum algorithm shows exponential improvement over any classical algorithm in an important application field.

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，与经典方法相比在生成机器学习中实现指数级加速。
• 设计一种具有比经典因子图更强表征能力的量子生成模型（QGM）。
• 证明在合理的计算复杂性假设下，QGM 可在训练和推理中实现指数级加速。
• 建立一个框架，使量子生成模型能够高效编码通用量子计算，从而实现学习过程中的高效梯度计算。

提出的方法

• QGM 构建为一种具有固定顶点函数和参数化单量子比特酉操作 $ M_i $ 的特殊张量网络态，实现高效的量子态制备。
• 通过在计算基中测量部分量子比特来生成概率分布，未测量的量子比特被 traced out 以获得边缘概率。
• 参数化量子线路的设计使得测量最终态中的单个量子比特可编码通用量子计算，从而实现高效的梯度估计。
• 该方法依赖于具有多项式有界能隙的母哈密顿量构造，确保模型基态编码通用量子计算。
• 该算法使用后选择和量子线路，在 QGM 框架内模拟通用量子计算机的作用。
• KL 散度的梯度通过局部可观测量的期望值计算，可使用量子线路高效估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子生成模型能否以指数效率表示经典因子图？
• RQ2 所提出的 QGM 是否相比经典生成模型在训练和推理中实现指数级加速？
• RQ3 QGM 是否可用于高效计算 KL 散度的梯度，这是训练过程中的关键步骤？
• RQ4 QGM 是否具备通用量子计算能力，意味着它能解决任意 BQP 问题？
• RQ5 母哈密顿量的能隙是多少？它是否随系统尺寸多项式缩放？

主要发现

• QGM 能够高效表示任何经典因子图，包括所有实际的生成模型，如贝叶斯网络和玻尔兹曼机。
• QGM 在表示复杂概率分布方面，相比经典因子图具有指数级更强的表征能力。
• 在假设量子随机存取内存（QRAM）可用的前提下，QGM 的训练和推理过程对某些实例实现了指数级加速。
• KL 散度的梯度可使用量子线路在多项式时间内估计，估计精度受 $ \frac{1}{\text{poly}(n)} $ 限制。
• 母哈密顿量的能隙下界为 $ \Omega(1/T^{14}) $，即 $ \frac{1}{\text{poly}(n)} $，确保了模型的稳定性及高效的绝热制备。
• 该模型编码了通用量子计算，因为任何 BQP 问题的接受概率均可通过 KL 散度的梯度估计得出。