[论文解读] An Efficient Quantum Factoring Algorithm

Oded Regev|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

论文提出一种分解方法，使用约 √n + 4 个独立量子电路，每个电路规模为 ~O(n^{3/2})，随后进行多项式时间的经典后处理来分解一个 n 位整数 N。

ABSTRACT

We show that $n$-bit integers can be factorized by independently running a quantum circuit with $ ilde{O}(n^{3/2})$ gates for $\sqrt{n}+4$ times, and then using polynomial-time classical post-processing. The correctness of the algorithm relies on a number-theoretic heuristic assumption reminiscent of those used in subexponential classical factorization algorithms. It is currently not clear if the algorithm can lead to improved physical implementations in practice.

研究动机与目标

• 激励在保持正确性的前提下，通过基于经验的格方法，减少因式分解的量子电路规模，超越Shor算法。
• 提出一个多维量子因式分解框架，将对偶格的量子采样与经典格简化相结合以提取因子。
• 分析量子电路规模、运行次数与经典后处理时间之间的资源权衡。

提出的方法

• 构造多维格 L 及其子格 L0，以通过模 N 的平方根来建立分解。
• 使用量子过程从带离散化的对偶格 L* 的带噪版本进行采样，随后进行量子傅里叶变换以获得对偶格向量的近似。
• 采用经典格简化（LLL）及后处理格构造，从带噪样本中恢复 N 的一个非平凡因子。
• 证明，当 d = √n 且 R = exp(C√n) 时，量子电路规模为 ~O(n^{3/2})，并且需要额外的四次基于格的约简，重复 √n+4 次。
• 通过解决难解格问题，通过超多项式的经典后处理提供更小的量子成本路径。
• 概述如果格问题在经典上多项式时间内可解，几乎线性的量子电路规模也能分解 N。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合量子采样的多维格方法是否能实现类似Shor的因式分解，同时显著降低量子电路深度？
• RQ2 在格理论启发下，固定规模量子电路的重复独立应用，随后进行多项式时间的经典后处理，是否可靠地产生 N 的非平凡因子？
• RQ3 量子电路规模、量子电路重复次数以及经典后处理复杂度之间的精确权衡是多少，用于分解 N？
• RQ4 算法对关于 L \n L0 中短向量存在性的启发式假设以及量子采样过程中的噪声有多鲁棒？

主要发现

• 可以通过运行尺寸为 ~O(n^{3/2}) 的量子电路对 √n + 4 次并进行多项式时间经典后处理来实现对 N 的因式分解。
• 在假设 L \n L0 中存在范数为 exp(O(√n)) 的短向量的启发式前提下，该算法能够分解 N。
• 经典后处理使用格简化来恢复一个向量，从而以高概率产生 N 的非平凡因子。
• 该方法暗示，在超多项式的经典后处理中，量子成本可降至 ~O(n^{3/2−ε})，其中 0 < ε ≤ 1/2，代价是 exp(O(n^{2ε})) 的经典时间。
• 如果基于格的密码学被经典破解，则近线性大小的量子电路 ~O(n) 也可用于因式分解。
• 该分析是渐近的，实际效率取决于隐藏常数和硬件细节。