[论文解读] An efficient recursive decomposition algorithm for undirected graphs

Pei Heng, Yi Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2026

Advanced Graph Theory Research被引用 0

一句话总结

该论文提出一种递归分解算法（RDA），通过凸包和最大基数搜索排序识别原子，并实现比传统方法更快的图分解，且为大图提供并行变体（PRDA）。

ABSTRACT

The decomposition of undirected graphs simplifies complex problems by breaking them into solvable subgraphs, following the philosophy of divide and conquer. This paper investigates the relationship between atom decomposition and the maximum cardinality search (MCS) ordering in general undirected graphs. Specifically, we prove that applying a convex extension to the node numbered $1$ and its neighborhood in an MCS ordering yields an atom in the graph. Furthermore, based on the MCS ordering, we introduce a recursive algorithm for decomposing an undirected graph into its atoms. This approach closely aligns with the results of chordal graph decomposition. As a result, minimal triangulation of the graph is no longer required, and the identification of clique minimal separators is avoided. In the experimental section, we combine the proposed decomposition algorithm with two existing convex expansion methods. The results show that both combinations significantly outperform the existing algorithms in terms of efficiency.

研究动机与目标

• 动机并形式化将无向图分解为原子的问题，而不依赖三角化。
• 提出利用凸包和最小分隔子集的递归分解框架。
• 开发并行变体，以提升在大规模图上的分解速度。
• 提供理论保证和实证证据，证明相较传统方法的效率提升。

提出的方法

• 使用最大基数搜索（MCS）获取图G的节点排序。
• 证明包含最小MCS编号节点邻域的凸包构成一个原子。
• 定义递归分解算法（RDA），通过CMSA逐步吸收凸包以提取原子。
• 证明RDA在最坏情况下的时间复杂度为O(nm)，可返回所有原子。
• 扩展为并行版本（PRDA），在可能时对独立分量并行处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖最小三角化的情况下高效识别无向图的原子？
• RQ2 如何利用凸包与MCS排序将图递归分解为原子？
• RQ3 在大规模真实网络上并行分解方法是否显著降低运行时间？

主要发现

Network	Nodes	Edges	T1 (s)	T2 (s)
Animal Network-1	103	151	0.03	0.15
Animal Network-2	445	1423	0.14	0.94
bio-CE-GT	924	3239	0.50	9.75
bio-CE-GN	2200	53683	1.11	193.43
bio-DR-CX	3289	84940	2.09	892.38
as20000102	6474	13895	20.34	—
CA-HepTh	9877	25998	184.99	—
CA-CondMat	23133	93497	857.99	—
Email-Enron	36692	183831	859.77	—

• RDA能够精确识别图的所有原子。
• RDA的复杂度至多为O(nm)。
• 在真实网络上，RDA在报告的运行时间方面显著优于Xu和Guo（2012）方法。
• 并行变体（PRDA）在子图分解为多个分量时可以带来加速，尽管并非始终有效。
• 该方法在分解过程中融入了最小三角化的考量，以提高效率。
• 实验结果表明在多个人工网络上实现了实际的效率提升。