[论文解读] An efficient solver based on low-rank approximation and Neumann matrix series for unsteady diffusion-type partial differential equations with random coefficients

Yujun Zhu, Min Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2026

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一句话总结

本文提出一种 LRNS 求解器，将随机刚度矩阵的广义低秩近似与 Neumann 矩阵级数相结合，以高效求解带随机系数的非稳态扩散型随机偏微分方程（SPDEs），在保持精度的同时降低计算和内存开销.

ABSTRACT

In this paper, we develop an efficient numerical solver for unsteady diffusion-type partial differential equations with random coefficients. A major computational challenge in such problems lies in repeatedly handling large-scale linear systems arising from spatial and temporal discretizations under uncertainty. To address this issue, we propose a novel generalized low-rank matrix approximation to represent the stochastic stiffness matrices, and approximate their inverses using the Neumann matrix series expansion. This approach transforms high-dimensional matrix inversion into a sequence of low-dimensional matrix multiplications. Therefore, the solver significantly reduces the computational cost and storage requirements while maintaining high numerical accuracy. The error analysis of the proposed solver is also provided. Finally, we apply the method to two classic uncertainty quantification problems: unsteady stochastic diffusion equations and the associated distributed optimal control problems. Numerical results demonstrate the feasibility and effectiveness of the proposed solver.

研究动机与目标

• 为带随机系数的时变扩散方程提供可靠且高效的不确定性量化动机。
• 开发一个计算量较小的求解器，处理来自 MC-FEM 离散化的大规模随机线性系统。
• 为提出的 LRNS 方法提供误差分析，并证明其在随机扩散和随机最优控制问题中的适用性。

提出的方法

• 通过一种新颖的广义低秩近似（GLRAM）利用 RSVD 表示随机扰动的刚度矩阵，得到具有给定压缩比 tau 的 U 和 V_m。
• 使用截断的 Neumann 级数近似求扰动矩阵逆：(I + A^{-1}Ã_m^*)^{-1} ≈ sum_{r=0}^R (-A^{-1}Ã_m^*)^r。
• 将大型 M×L 线性系统转化为一系列低维矩阵乘法和对确定性解的低秩修正。
• 提供基于 RMSRE 和扰动矩阵 N = sum_m Ã_m Ã_m^T 的谱性质的误差分析框架。
• 将基于 RSVD 的 LRA 与基于 Neumann 级数的逆运算结合，得到可扩展的 LRNS 求解器（算法 2）。
• 证明该方法对非稳态随机扩散方程和分布式随机最优控制问题具可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在蒙特卡罗有限元设置中，低秩表示如何加速时变 SPDE 的求解？
• RQ2 将 RSVD 基于的广义低秩近似与扰动矩阵的 Neumann 级数逆运算相结合，分别在准确性与计算成本上有哪些收益？
• RQ3 所提出的 LRNS 方法是否能够在不牺牲精度的前提下，高效求解带随机渗透率的非稳态扩散方程及相关的随机控制问题？

主要发现

• LRNS 求解器将高维矩阵求逆转化为一系列低维乘法和低秩更新，降低成本和内存消耗。
• 基于 RSVD 的广义低秩近似在给定压缩比 tau 下提供对随机刚度扰动的高效且准确的表示。
• Neumann 级数逆运算提供切实可用的有限项近似，其精度随截断指标 R 与扰动大小的变化而提高。
• 误差分析将 RMSRE 与扰动矩阵 N 的谱特性及所选的能量覆盖 e(tau) 联系起来。
• 该方法应用于非稳态随机扩散方程与分布式随机最优控制问题，展示了可行性与高效性。