[论文解读] An Efficient Streaming Algorithm for the Submodular Cover Problem

Ashkan Norouzi-Fard, Abbas Bazzi+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 6

一句话总结

该论文提出了 ESC-Streaming，这是首个在子线性内存约束下针对子模覆盖（SC）问题的高效单遍流式算法。它在实现目标效用 (1−ε) 的同时，对最优解提供了 2/ε 的近似比，使其在大规模数据集（如超过 7.87 亿个节点的图）上具有高度可扩展性。

ABSTRACT

We initiate the study of the classical Submodular Cover (SC) problem in the data streaming model which we refer to as the Streaming Submodular Cover (SSC). We show that any single pass streaming algorithm using sublinear memory in the size of the stream will fail to provide any non-trivial approximation guarantees for SSC. Hence, we consider a relaxed version of SSC, where we only seek to find a partial cover. We design the first Efficient bicriteria Submodular Cover Streaming (ESC-Streaming) algorithm for this problem, and provide theoretical guarantees for its performance supported by numerical evidence. Our algorithm finds solutions that are competitive with the near-optimal offline greedy algorithm despite requiring only a single pass over the data stream. In our numerical experiments, we evaluate the performance of ESC-Streaming on active set selection and large-scale graph cover problems.

研究动机与目标

• 解决在数据流模型中处理子模覆盖（SC）问题的挑战，其中无法将整个基集存储在内存中。
• 克服在标准假设下，任何使用子线性内存的单遍流式算法都无法对精确 SC 实现非平凡近似这一根本限制。
• 为 SC 的一个松弛版本开发一种实用且高效的算法，其中仅需实现目标效用的 (1−ε) 分数。
• 设计一种内存和时间效率高的流式算法，仅需对数据进行一次遍历，并提供强有力的理论保证。
• 在真实世界问题（如主动集选择和大规模图覆盖）上，展示其可扩展性，并与离线贪心算法保持竞争力。

提出的方法

• 提出子模覆盖问题的松弛版本，聚焦于实现目标效用的 (1−ε)，而非精确覆盖。
• 引入 ESC-Streaming，一种双准则流式算法，采用两阶段方法：首先使用基于阈值的选择策略构建候选集；其次使用带乘法因子 α 的类似贪心的选择策略对解进行优化。
• 利用子模函数的递减收益特性，设计一种内存高效的选取机制，仅维护一个小型活跃候选集。
• 使用参数 α 控制解集大小与计算成本之间的权衡，其中 α > 1 允许获得更大但更高效的解集。
• 采用流式预言机模型，元素以任意顺序处理，仅允许单遍处理，且内存受限于最优解大小的 O(1/ε) 倍。
• 理论分析表明，ESC-Streaming 在保证 (1−ε) 效用覆盖的前提下，对最优解大小实现了 2/ε 的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子线性内存约束下，单遍流式算法能否对精确子模覆盖问题实现非平凡近似？
• RQ2 在流式子模覆盖中，内存使用与近似比之间的根本权衡是什么？
• RQ3 是否可能设计一种高效的流式算法，在仅略大于最优解集大小的情况下，实现接近最优的效用覆盖？
• RQ4 该算法在大规模真实世界数据集（如大规模图）上的实际表现如何？
• RQ5 该算法能否在处理超过 7.87 亿个节点的图时，仍保持与离线贪心方法相当的性能？

主要发现

• 任何使用子线性内存的单遍流式算法都无法对精确子模覆盖问题实现非平凡近似，确立了根本下界。
• ESC-Streaming 在保证 (1−ε) 目标效用覆盖的前提下，对最优解大小实现了 2/ε 的近似比，提供了强有力的理论保证。
• 在 "uk-2014" 图（7.87 亿个节点，476 亿条边）上，ESC-Streaming 显著优于随机选择，尤其在更具挑战性的顶点覆盖问题上表现更优。
• 对于 Friendster 图（6560 万个节点，180 亿条边），在 2000 次迭代后，ESC-Streaming 的解集大小与离线贪心算法非常接近。
• 在 Friendster 图上，ESC-Streaming 使用的内存仅为 30MB（α=2），而离线贪心算法完成单次大规模查询需超过 2 天时间并调用 1.2×10⁷ 次预言机。
• 该算法将预言机调用次数减少至离线贪心算法的 3.15% 以下，以及懒惰贪心算法的 25.5%，展现出显著的效率提升。