[论文解读] An Einstein equation for discrete quantum gravity

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文在因果集离散量子引力方法中提出了爱因斯坦场方程的离散类比。通过在因果集的希尔伯特空间上利用双差分算子定义曲率算子，将曲率分解为与退相干矩阵相关的度规算子和质量-能量算子，从而提供了一个框架，用于检验广义相对论是否作为离散量子引力的连续极限而出现。

ABSTRACT

The basic framework for this article is the causal set approach to discrete quantum gravity (DQG). Let $Q_n$ be the collection of causal sets with cardinality not greater than $n$ and let $K_n$ be the standard Hilbert space of complex-valued functions on $Q_n$. The formalism of DQG presents us with a decoherence matrix $D_n(x,y)$, $x,y\in Q_n$. There is a growth order in $Q_n$ and a path in $Q_n$ is a maximal chain relative to this order. We denote the set of paths in $Q_n$ by $Ω_n$. For $ω, ω'\inΩ_n$ we define a bidifference operator $\varbigtriangledown_{ω, ω'}^n$ on $K_n\otimes K_n$ that is covariant in the sense that $\varbigtriangledown_{ω, ω'}^n$ leaves $D_n$ stationary. We then define the curvature operator $ script_{ω, ω'}^n=\varbigtriangledown_{ω, ω'}^n-\varbigtriangledown_{ω', ω}^n$. It turns out that $ script_{ω, ω'}^n$ naturally decomposes into two parts $ script_{ω, ω'}^n=\dscript_{ω, ω'}^n+ script_{ω, ω'}^n$ where $\dscript_{ω, ω'}^n$ is closely associated with $D_n$ and is called the metric operator while $ script_{ω, ω'}^n$ is called the mass-energy operator. This decomposition is a discrete analogue of Einstein's equation of general relativity. Our analogue may be useful in determining whether general relativity theory is a close approximation to DQG.

研究动机与目标

• 在离散量子引力的框架下，使用因果集方法，发展爱因斯坦方程的离散类比。
• 通过保持退相干矩阵不变的双差分算子，在离散设定中定义曲率。
• 将曲率算子分解为度规分量与质量-能量分量，以模仿广义相对论的结构。
• 提供一个形式化框架，用于检验广义相对论是否在连续极限下近似于离散量子引力。

提出的方法

• 采用因果集方法，其中时空被建模为具有因果关系的离散元素的偏序集。
• 定义大小不超过 $ n $ 的因果集上的复值函数的希尔伯特空间 $ K_n $，并定义退相干矩阵 $ D_n(x,y) $ 以编码量子干涉效应。
• 在 $ K_n \otimes K_n $ 上引入一个在退相干矩阵 $ D_n $ 下协变的双差分算子 $ \varbigtriangledown_{\omega,\omega'}^n $。
• 定义曲率算子 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'}^n = \varbigtriangledown_{\omega,\omega'}^n - \varbigtriangledown_{\omega',\omega}^n $，其自然分解为两部分。
• 将 $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'}^n $ 识别为与 $ D_n $ 相关的度规算子，将 $ \mathcal{T}_{\omega,\omega'}^n $ 识别为质量-能量算子。
• 利用 $ K_n $ 上的标准基向量 $ e_x^n $ 和张量积空间 $ L_n = K_n \otimes K_n $ 上的狄拉克符号，推导出所有算子的矩阵元表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在因果集方法的量子引力框架中构造爱因斯坦方程的离散版本？
• RQ2 曲率如何从编码在退相干矩阵中的量子干涉结构中涌现？
• RQ3 在量子引力框架中，度规与能量-动量张量的离散类比是什么？
• RQ4 曲率算子分解为度规与质量-能量算子是否表明广义相对论作为离散量子引力的连续极限而出现？

主要发现

• 曲率算子 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'}^n $ 自然地分解为 $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'}^n + \mathcal{T}_{\omega,\omega'}^n $，其中 $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'}^n $ 与退相干矩阵 $ D_n $ 相关，并充当度规算子的角色。
• 算子 $ \mathcal{T}_{\omega,\omega'}^n $ 被识别为质量-能量算子，其作用类似于广义相对论中的能量-动量张量。
• 双差分算子 $ \varbigtriangledown_{\omega,\omega'}^n $ 具有协变性，即其作用下退相干矩阵 $ D_n $ 保持不变。
• 通过 $ K_n $ 和 $ L_n = K_n \otimes K_n $ 上的正交基，显式推导出所有算子的矩阵元表示，从而实现具体计算。
• 该形式化提供了一个候选框架，可用于检验广义相对论是否作为有效理论从离散量子引力在连续极限下出现。