[论文解读] An elementary approach to C*-algebras associated to topological graphs

Hui Li, David Pask+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文提出了一种无需C*-对应关系的、针对拓扑图的C*-代数的初等构造方法，采用普遍表示和协变表示。它证明了Toeplitz代数和Katsura的拓扑图C*-代数可作为$C_0(E^0)$与$C_c(E^1)$中简单关系所定义的普遍C*-代数出现，并证明了无源的行有限有向图的C*-代数与由其无限路径空间和移位映射所诱导的关联拓扑图的C*-代数之间存在同构关系。

ABSTRACT

We develop notions of a representation of a topological graph E and of a covariant representation of a topological graph E which do not require the machinery of C*-correspondences and Cuntz-Pimsner algebras. We show that the C*-algebra generated by a universal representation of E coincides with the Toeplitz algebra of Katsura's topological-graph bimodule, and that the C*-algebra generated by a universal covariant representation of E coincides with Katsura's topological graph C*-algebra. We exhibit our results by constructing the isomorphism between the C*-algebra of a row-finite directed graph E with no sources and the C*-algebra of the topological graph arising from the shift map acting on infinite path space E^\infty.

研究动机与目标

• 开发一种避免使用C*-对应关系和Cuntz-Pimsner代数技术的拓扑图表示理论。
• 仅使用$C_0(E^0)$与$C_c(E^1)$中的元素，将Toeplitz代数和Katsura的拓扑图C*-代数定义为普遍C*-代数。
• 当终点映射为具有闭像的局部同胚时，简化协变条件，特别是在Cantor极小系统和$\mathbb{Z}$作用的交叉积等情形下。
• 通过初等方法，直接证明无源的行有限有向图的C*-代数与由其无限路径空间和移位映射所诱导的关联拓扑图的C*-代数之间的同构关系。

提出的方法

• 引入拓扑图$E$的表示为一对$(\pi, \psi)$，其中$\pi$是$C_0(E^0)$上的非退化*$-同态，$\psi$是$C_c(E^1)$上的线性映射，满足对所有$f \in C_0(E^0)$，$x \in C_c(E^1)$，有$\psi(f \cdot x) = \pi(f) \psi(x)$和$\psi(x \cdot f) = \psi(x) \pi(f)$。
• 通过要求$\psi(x)^* \psi(y) = \pi(\widehat{x^*y})$来定义协变表示，其中$x,y \in C_c(E^1)$，$\widehat{x^*y}$是$ x^* $与$ y $在$ x $的源点和$ y $的终点处的逐点乘积。
• 利用Toeplitz代数$\mathcal{T}(E)$和协变普遍代数$\mathcal{O}(E)$的普遍性质，证明$\mathcal{T}(E)$同构于Katsura的Toeplitz代数，且$\mathcal{O}(E)$同构于Katsura的拓扑图C*-代数。
• 将该理论应用于拓扑图$\widehat{E}$，其中$\widehat{E}^0 = \widehat{E}^1 = E^\infty$，源映射为$\sigma$（左移位），终点映射为恒等映射，证明$\mathcal{O}(\widehat{E}) \cong C^*(E)$。
• 从$B$中的Cuntz-Krieger $E$-族构造一个同态$\rho: C^*(E) \to B$，以证明$C^*(E)$对$\mathcal{O}(\widehat{E})$的普遍性。
• 利用规范不变唯一性定理，并结合终点映射为同胚的事实，通过命题4.12验证协变性并扩展表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用C*-对应关系或Cuntz-Pimsner代数的情况下定义拓扑图的C*-代数？
• RQ2 是否存在一个由拓扑图表示生成的普遍C*-代数，其与Katsura的Toeplitz代数一致？
• RQ3 拓扑图的普遍协变表示是否能生成Katsura的拓扑图C*-代数？
• RQ4 能否通过初等方法建立无源的行有限有向图的C*-代数与通过移位映射关联的拓扑图C*-代数之间的同构关系？
• RQ5 当终点映射为具有闭像的局部同胚时，协变条件如何简化？

主要发现

• 拓扑图$E$的Toeplitz代数$\mathcal{T}(E)$同构于由$E$在$C_0(E^0)$与$C_c(E^1)$中的表示所生成的普遍C*-代数。
• Katsura的拓扑图C*-代数$\mathcal{O}(E)$同构于由$E$的协变表示所生成的普遍C*-代数。
• 当终点映射$r: E^1 \to E^0$为局部同胚且$r(E^1)$为闭集时，协变条件显著简化，从而可直接验证表示。
• 无源的行有限有向图$E$的C*-代数与在无限路径空间$E^\infty$上定义的拓扑图$\widehat{E}$的C*-代数之间存在自然同构，其中源映射为移位映射，终点映射为恒等映射。
• 通过在$C^*(E)$中构造一个协变Toeplitz表示的初等构造及普遍性质论证，建立了同构$\mathcal{O}(\widehat{E}) \cong C^*(E)$。
• 该证明避免了C*-对应关系的使用，仅依赖于初等泛函分析工具和规范不变唯一性定理。