[论文解读] An Elementary GIT Construction of the Moduli Space of Stable Maps

Adam E. Parker|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于几何不变量理论（GIT）的初等构造方法，将稳定映射的模空间 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 表示为 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$ 的 GIT 商关于 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ 的商空间。关键结果是存在一个自然同构 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')/G \cong \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$，从而使得收缩映射可被分解为一系列沿正规嵌入的加权爆破。

ABSTRACT

This paper provides a GIT construction of the Moduli Space of Stable Maps as a GIT quotient of the Graph Space by SL(2,C). As a corollary, we get a birational map from the 0-pointed Moduli Space to a projective variety.

研究动机与目标

• 通过一种初等的 GIT 方法构造模空间 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$。
• 在统一框架下整合 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$、$\overline{M}_{0,n}$ 以及 Fulton-MacPherson 空间 $\mathbb{P}^1[n]$ 的构造方法。
• 为 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ 构造一个从模空间到商空间的双有理映射 $\bar{\phi}$，该映射可经由中间模空间实现分解。
• 尽管该空间作为代数簇并非光滑，仍可通过一系列加权爆破实现其 Chow 环的计算。

提出的方法

• 将模空间 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$ 构造为 $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ 中无基点区域的 GIT 商。
• 在 $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ 上定义一个线装线丛 $\mathcal{L}$，使得其半稳定区域等于其稳定区域。
• 引入一个扰动 $\mathcal{L}' = \phi^*(\mathcal{L})(-\epsilon E)$，其中 $\epsilon > 0$ 足够小，$E$ 是一个有效除子且 $-E$ 关于 $\phi$ 是 $\phi$-ample 的。
• 证明 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')$ 等于其稳定区域，且等于 $\phi^{-1}((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)^{ss}(\mathcal{L})$。
• 证明该稳定区域关于 $G = \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ 的商空间通过一个自然同构同构于 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$。
• 通过中间空间对收缩映射 $\phi$ 进行分解，从而将 $\bar{\phi}$ 表示为一系列沿正规嵌入的加权爆破的复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖堆栈理论方法的前提下，通过初等 GIT 商构造模空间 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$？
• RQ2 是否存在一个自然的双有理映射 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$ 到更高维模空间的商空间，使得该映射可实现为爆破分解？
• RQ3 在对 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$ 商之后，Givental 收缩映射 $\phi: \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1)) \to ((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ 是否可被分解为一系列加权爆破？
• RQ4 该商构造是否保持模空间的普遍性质，并给出稳定映射的粗模空间？
• RQ5 该构造能否用于通过 Keel 定理对爆破的 Chow 环进行计算？

主要发现

• 模空间 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 通过一个自然同构同构于几何商 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')/G$，其中 $G = \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$。
• 当 $\epsilon > 0$ 足够小时，线丛 $\mathcal{L}' = \phi^*(\mathcal{L})(-\epsilon E)$ 是 ample 的，且满足 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}') = \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{s}(\mathcal{L}')$。
• $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ 中的稳定区域在 Givental 收缩映射 $\phi$ 下的拉回，等于 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$ 中的稳定区域。
• 诱导映射 $\bar{\phi}: \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d) \to ((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)^{ss}(\mathcal{L})/G$ 是一个双有理态射。
• 文献 [M] 中 $\phi$ 的分解在商空间上被提升，因此 $\bar{\phi}$ 可表示为一系列沿正规嵌入的加权爆破的复合。
• 对于 $(d,k)^*$-可接受的态射，存在一个粗模空间 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d,k)$，其构造为 $({\mathbb{P}}_d^r(k))^{s}/\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$。