[论文解读] An elementary introduction to the Wiener process and stochastic integrals

Tamás Szabados|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用 30

一句话总结

本文提出了一种基于简单对称随机游走序列的、基础且构造性的维纳过程与随机积分方法，这些随机游走序列几乎必然收敛于布朗运动。通过离散逼近定义伊藤积分与斯拉托诺维奇积分，且逼近过程以概率1收敛；并仅使用基本概率与分析工具证明了伊藤公式，为随机微积分提供了自包含且易于理解的基础。

ABSTRACT

An elementary construction of the Wiener process is discussed, based on a proper sequence of simple symmetric random walks that uniformly converge on bounded intervals, with probability 1. This method is a simplification of F.B. Knight's and P. R\\'ev\\'esz's. The same sequence is applied to give elementary (Lebesgue-type) definitions of It\\^o and Stratonovich sense stochastic integrals and to prove the basic It\\^o formula. The resulting approximating sums converge with probability 1. As a by-product, new elementary proofs are given for some properties of the Wiener process, like the almost sure non-differentiability of the sample-functions. The purpose of using elementary methods almost exclusively is twofold: first, to provide an introduction to these topics for a wide audience; second, to create an approach well-suited for generalization and for attacking otherwise hard problems.

研究动机与目标

• 为具备基本微积分与概率知识的学生提供一种易于理解的维纳过程与随机积分的入门介绍。
• 通过适当缩放的简单对称随机游走序列的几乎必然一致极限，构造维纳过程。
• 通过几乎必然收敛的离散逼近和，定义伊藤与斯拉托诺维奇随机积分。
• 仅使用初等方法证明伊藤公式，避免使用高级测度论工具。
• 证明初等方法不仅可行，而且在推广与解决随机分析中的复杂问题方面具有强大能力。

提出的方法

• 将维纳过程构造为在有界区间上，经适当缩放的简单对称随机游走序列的几乎必然一致极限。
• 使用同一组随机游走序列，通过离散和定义伊藤与斯拉托诺维奇两种意义下的随机积分。
• 利用样本路径连续性与导数的一致连续性，建立逼近和向相应随机积分以概率1收敛的性质。
• 通过分析包含函数增量与二次变差的离散和的收敛性，证明伊藤公式，识别出非经典第二项。
• 对斯拉托诺维奇积分应用梯形法则逼近，并通过一致连续性论证证明其收敛于斯拉托诺维奇积分。
• 利用最大最小定理与连续样本路径的性质，控制逼近中的误差项，确保几乎必然收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以基础且几乎必然的方式，从简单对称随机游走构造维纳过程？
• RQ2 是否可以使用以概率1收敛的离散逼近来定义伊藤与斯拉托诺维奇意义下的随机积分？
• RQ3 二次变差在伊藤公式推导中起什么作用？它如何导致非经典第二项的出现？
• RQ4 如何仅使用初等分析与概率方法证明伊藤公式，而无需高级测度论？
• RQ5 初等方法在多大程度上可以推广，以解决随机微积分中的更复杂问题？

主要发现

• 维纳过程被构造为在有界区间上，经适当缩放的简单对称随机游走序列的几乎必然一致极限。
• 伊藤与斯拉托诺维奇随机积分的逼近和均以概率1收敛于相应的积分。
• 伊藤公式被作为离散和的极限推导得出，揭示了由于维纳过程的二次变差而产生的非经典项 $\frac{1}{2}\int_0^K f'(W(s))\,ds$。
• 斯拉托诺维奇积分通过梯形逼近规则收敛于积分，与经典链式法则的直觉一致。
• 初等方法得出了维纳过程基本性质的新且直接的证明，例如样本路径的几乎必然不可微性。
• 该方法为随机微积分提供了自包含且易于理解的基础，适用于高级本科或初级研究生概率课程。