[论文解读] An Elementary Proof for the Structure of Wasserstein Derivatives

Cong Wu, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Molecular spectroscopy and chirality被引用 3

一句话总结

本文为L²空间上分布不变泛函的Wasserstein导数结构提供了初等证明。结果表明，一个连续可微的分布不变泛函F在随机变量ξ处的Fréchet导数几乎必然等于一个仅依赖于ξ的分布的确定性函数g(ξ)，从而在平均场微积分与随机分析中建立了基础性结果。

ABSTRACT

Let $F: \mathbb{L}^2(Ω, \mathbb{R}) o \mathbb{R}$ be a law invariant and continuously Fréchet differentiable mapping. Based on Lions \cite{Lions}, Cardaliaguet \cite{Cardaliaguet} (Theorem 6.2 and 6.5) proved that: \bea \label{Derivative} D F (ξ) = g(ξ), \eea where $g: \mathbb{R} o \mathbb{R}$ is a deterministic function which depends only on the law of $ξ$. See also Carmona \& Delarue \cite{CD} Section 5.2. In this short note we provide an elementary proof for this well known result. This note is part of our accompanying paper \cite{WZ}, which deals with a more general situation.

研究动机与目标

• 提供一个自包含的、初等的证明，阐明一个广为人知的结果：分布不变、连续Fréchet可微泛函F的Wasserstein导数具有g(ξ)的形式，其中g仅依赖于ξ的分布。
• 在不依赖Lions在Wasserstein空间上的变分法高级工具的前提下建立该结果。
• 通过逼近方法，将结果从离散型随机变量推广至一般随机变量，利用无原子概率空间的结构。
• 澄清导数对分布的依赖性，而非对特定随机变量表示的依赖性。
• 为未来工作中推广至过程及导数函数的联合可测性奠定基础，如附录论文[5]所概述。

提出的方法

• 使用离散逼近：通过实轴的二进制划分，将一般随机变量ξ逼近为一列离散随机变量ξₙ。
• 对每个离散ξₙ，通过ξₙ的水平集上指示函数方向的方向导数，显式推导出导数DF(ξₙ)。
• 利用一个关键引理（等质量集合蕴含随机变量的常数性），证明DF(ξₙ)在ξₙ的每个水平集上几乎必然为常数。
• 构造一列可测函数gₙ，使得DF(ξₙ) = gₙ(ξₙ)，并将它们扩展为ℝ上的分段常数函数̃gₙ。
• 利用F的连续可微性，证明当n → ∞时，̃gₙ(ξ)在L²范数下收敛于DF(ξ)。
• 在ξ的支撑集上沿子序列提取点态极限g(x)，并证明g(ξ) = DF(ξ) a.s.，且g仅依赖于ξ的分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用概率论与分析的初等工具，而不依赖Wasserstein空间上的高级变分法，证明分布不变泛函的Wasserstein导数结构？
• RQ2 为何分布不变泛函F在ξ处的Fréchet导数等于ξ的确定性函数，且该函数为何仅依赖于ξ的分布？
• RQ3 如何从在水平集内质量移动的扰动方向导数出发，显式构造出该确定性函数g？
• RQ4 底层概率空间的无原子结构在确保导数在ξ的水平集上为常数方面起到何种作用？
• RQ5 该结果能否推广至一般过程或更一般的泛函？在何种条件下可保证导数函数的联合可测性？

主要发现

• Fréchet导数DF(ξ)几乎必然等于g(ξ)，其中g是仅依赖于ξ的分布的确定性函数，而非ξ的特定实现形式。
• 对于在xᵢ处有原子的离散ξ，函数g显式给出为g(xᵢ) = lim_{ε→0} [f(∑_{j≠i} pⱼ δ_{xⱼ} + pᵢ δ_{xᵢ+ε}) - f(∑ pⱼ δ_{xⱼ})] / (ε pᵢ)，其仅依赖于分布。
• 导数DF(ξ)在每个水平集{ξ = xᵢ}上几乎必然为常数，这是无原子概率空间与等质量集合关键引理的直接结果。
• 逼近离散导数gₙ(ξₙ)的极限在L²范数下收敛于DF(ξ)，且在ξ的支撑集上几乎必然存在点态极限函数g(x)。
• 函数g与具有给定分布的随机变量ξ的选择无关，因此它确实是分布与值x的函数。
• 该结果可推广至过程情形，并在[5]中讨论的统一连续性条件下，保证g(μ,x)的联合可测性。