[论文解读] An Elementary Proof of Convex Phase Retrieval in the Natural Parameter Space via the Linear Program PhaseMax

Paul Hand, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 7被引用 34

一句话总结

本文提出了一种简单、基础的证明，表明在最优样本复杂度下，PhaseMax线性规划能够从 $O(n)$ 高斯无相位测量中恢复实值信号。通过利用标准的概率浓度和覆盖论证，仅使用基本的随机矩阵理论和一个 ${L}^1$-等距性界，避免了复杂的几何或统计学习理论框架，实现了全局符号意义下的精确恢复。

ABSTRACT

The phase retrieval problem has garnered significant attention since the development of the PhaseLift algorithm, which is a convex program that operates in a lifted space of matrices. Because of the substantial computational cost due to lifting, many approaches to phase retrieval have been developed, including non-convex optimization algorithms which operate in the natural parameter space, such as Wirtinger Flow. Very recently, a convex formulation called PhaseMax has been discovered, and it has been proven to achieve phase retrieval via linear programming in the natural parameter space under optimal sample complexity. The current proofs of PhaseMax rely on statistical learning theory or geometric probability theory. Here, we present a short and elementary proof that PhaseMax exactly recovers real-valued vectors from random measurements under optimal sample complexity. Our proof only relies on standard probabilistic concentration and covering arguments, yielding a simpler and more direct proof than those that require statistical learning theory, geometric probability or the highly technical arguments for Wirtinger Flow-like approaches.

研究动机与目标

• 与依赖于统计学习或几何概率的现有方法相比，提供一种更简单、更直接的 PhaseMax 在相位检索中成功性的证明。
• 仅使用基础的概率工具，建立从 $O(n)$ 随机高斯测量中精确恢复实值信号。
• 证明 PhaseMax（在自然参数空间中的凸线性规划）在不提升或使用复杂非凸优化的情况下，实现了最优样本复杂度。
• 表明在高概率下，恢复保证在锚向量条件 $ {dist}(φ, x_0) < 0.6\|x_0\|_2$ 下成立。

提出的方法

• 使用随机矩阵奇异值的标准概率浓度不等式，以界测量算子的行为。
• 采用对测量算子 $\mathcal{A}$ 的 $ {L}^1$-等距性界，通过改进的常数证明，将期望内积与信号范数关联起来。
• 通过单位球上的 $ε$-网应用覆盖论证，将高概率界从有限集扩展到整个球面。
• 结合次指数随机变量的尾部界，以控制 $|\langle a_i, x_0\rangle\langle a_i, x_1\rangle|$ 的期望值。
• 在网上的并集界确保所有单位向量对的集中性同时成立。
• 依赖于锚向量 $\phi$ 在 $0.6\|x_0\|_2$ 范围内接近 $x_0$，以确保 $\langle \phi, x_0 \rangle > 0$，从而在 PhaseMax 中使 $x_0$ 成为最大化器。

实验结果

研究问题

• RQ1 PhaseMax 能否仅使用基础概率工具，在自然参数空间中实现精确相位检索？
• RQ2 PhaseMax 从高斯无相位测量中恢复实信号所需的最小样本复杂度是多少？
• RQ3 能否通过避免几何概率或统计学习理论，简化 PhaseMax 成功性的证明？
• RQ4 锚向量的质量如何影响 PhaseMax 恢复 $x_0$ 的成功率？

主要发现

• 当提供满足 $\|\phi - x_0\|_2 < 0.6\|x_0\|_2$ 的锚向量 $\phi$ 时，PhaseMax 以高概率从 $m = O(n)$ 高斯测量中精确恢复 $x_0$，仅差一个全局符号。
• 该证明仅依赖于标准浓度不等式和覆盖论证，避免了来自几何概率或统计学习理论的高级工具。
• 该方法实现了最优样本复杂度，与信息论下界相比仅差对数因子。
• 关键技术组件是对测量算子 $\mathcal{A}$ 的 $\r{L}^1$-等距性的改进界，其常数比先前结果更紧。
• 以高概率，通过截断谱初始化计算的锚向量在 $O(n)$ 测量内满足所需的接近条件。
• 当 $m \geq cn$ 时，PhaseMax 的总体成功概率至少为 $1 - 6e^{-\gamma m}$，其中 $\gamma$ 和 $c$ 为通用常数。