[论文解读] An elliptic sequence is not a sampled linear recurrence sequence

Florian Luca, Thomas Ward|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了由定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线上非挠有理点的倍数的分母导出的整数序列 $(z_n)$，不可能最终与任何整数线性递推序列的平方索引项完全匹配。通过结合丢番图与 $p$-进方法，作者表明椭圆整除序列所具有的独特二次-指数增长与算术结构，与线性递推序列的线性-指数增长存在根本性差异，即使在平方索引处采样亦然。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over the rationals and in minimal Weierstrass form, and let $P=(x_1/z_1^2,y_1/z_1^3)$ be a rational point of infinite order on $E$, where $x_1,y_1,z_1$ are coprime integers. We show that the integer sequence $(z_n)$ defined by $nP=(x_n/z_n^2,y_n/z_n^3)$ for all $n\ge 1$ does not eventually coincide with $(u_{n^2})$ for any choice of linear recurrence sequence $(u_n)$ with integer values.

研究动机与目标

• 为解决椭圆整除序列（EDS）是否可被实现为线性递推序列（LRS）采样项的开放问题。
• 确立由 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线上非挠有理点 $P$ 的 $nP$ 的分母定义的序列 $(z_n)$，不可能最终与任何整数线性递推序列 $(u_n)$ 的平方索引项 $(u_{n^2})$ 匹配。
• 证明 EDS 内在的算术性质与增长特性——即二次-指数增长与整除结构——无法被任何 LRS 复制，即使在平方索引处采样亦然。
• 提供两种独立证明：一种基于丢番图方法，依赖 $S$-单位方程与行列式非零；另一种基于 $p$-进方法，利用 Hensel 引理与模素理想约化。
• 通过证明即使子序列如 $(z_{\ell n})$ 也未能满足 LRS 的递推性质，进一步强化 EDS 与 LRS 之间结构非等价性，尽管这些子序列本身仍是 EDS。

提出的方法

• 基于 $S$-单位方程的丢番图方法，证明某些行列式的消失将导致有限多组解，与线性递推序列所需的无限结构相矛盾。
• 应用 $p$-进分析，通过在数域扩张中模素理想 $\pi$ 约化，利用余子式非零性，借助行列式恒等式导出矛盾。
• 利用 Hensel 引理将模 $r$ 的解提升至模 $L/N$ 的解，从而构造出满足关键同余条件的合适 $\ell_j$。
• 利用模 $\pi$ 下方程组的非退化性，当假设存在此类线性递推序列时，强制导出矛盾。
• 研究线性递推的特征多项式，并分析主导根的重数，以排除增长行为匹配的可能性。
• 利用典范高度 $c$ 控制增长关系 $\log z_n \sim c n^2$，该关系与 LRS 的 $|u_n| \sim C^n n^k$ 增长形式根本不相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线上非挠有理点的 $nP$ 的分母定义的序列 $(z_n)$，是否可能最终等于任何整数线性递推序列的平方索引项？
• RQ2 EDS 的二次-指数增长与 LRS 的线性-指数增长之间的显著差异，是否意味着即使在采样后，此类最终相等性也不可能成立？
• RQ3 是否存在结构性算术障碍（如 Zsigmondy 性质或整除行为），阻止 EDS 通过采样嵌入于线性递推序列中？
• RQ4 能否使用 $p$-进或丢番图技术证明 EDS 的递推结构无法被任何线性递推序列模仿，即使在平方索引处重编号亦然？
• RQ5 在假设 $z_n = u_{n^2}$ 的条件下，数域上矩阵系统中某些余子式非零是否会导致矛盾？

主要发现

• 由 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线上非挠有理点的倍数的分母导出的序列 $(z_n)$，不可能最终与任何整数线性递推序列 $(u_n)$ 的平方索引项 $(u_{n^2})$ 匹配。
• 丢番图证明表明，假设此类等式成立将导出一个仅有有限多组解的 $S$-单位方程，与序列的无限性相矛盾。
• $p$-进证明通过模素理想 $\pi$ 约化、Hensel 引理及行列式非零性，在假设存在此类递推序列时导出矛盾。
• 矛盾源于模 $\pi$ 下的方程组要求存在重根或根为 1，违反了特征多项式的非退化条件。
• 即使考虑子序列 $(z_{\ell n})$，其仍为 EDS，因此仍无法满足任何线性递推序列的递推结构。
• 点 $P$ 的典范高度 $c$ 控制增长关系 $\log z_n \sim c n^2$，该关系与线性递推序列的 $|u_n| \sim C^n n^k$ 增长形式根本不相容。