[论文解读] An embedded corrector problem to approximate the homogenized coefficients of an elliptic equation

Éric Cancès, Virginie Ehrlacher+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用 18

一句话总结

本文提出了一种嵌入型校正问题，用于近似具有高度振荡系数的椭圆PDE中的均质化系数。通过在全空间上求解一个扩散方程，其中在半径为R的球外使用均匀扩散矩阵，作者定义了三个在$R \to \infty$时收敛于均质化矩阵$A^\star$的近似方法，为标准超胞方法提供了数值高效的替代方案。

ABSTRACT

We consider a diffusion equation with highly oscillatory coefficients that admits a homogenized limit. As an alternative to standard corrector problems, we introduce here an embedded corrector problem, written as a diffusion equation in the whole space in which the diffusion matrix is uniform outside some ball of radius $R$. Using that problem, we next introduce three approximations of the homogenized coefficients. These approximations, which are variants of the standard approximations obtained using truncated (supercell) corrector problems, are shown to converge when $R \ o \\infty$. We also discuss efficient numerical methods to solve the embedded corrector problem.

研究动机与目标

• 解决在非周期性或随机平稳设定下，计算具有高度振荡系数的椭圆PDE中均质化系数$A^\star$的挑战。
• 通过引入一种新颖的嵌入型校正公式，克服在全空间求解校正问题的困难。
• 提出三种新的$A^\star$近似方法，其在域半径$R \to \infty$时收敛于真实的均质化矩阵。
• 为标准超胞（截断校正）方法提供数值高效的替代方案，尤其通过边界积分公式实现。
• 建立所提近似方法的理论收敛性，并在特定情况下（如各向同性均质化）证明解的存在性。

提出的方法

• 将嵌入型校正问题表述为定义在$\mathbb{R}^d$上的扩散方程，其中在球$B_R$内使用非均匀扩散矩阵$\mathbb{A}$，在外部使用常数矩阵$A^R_1$。
• 将第一个近似$A^R_1$定义为通过嵌入型校正问题解在$B_R$上计算的通量平均值。
• 通过一个形式能量等式定义第二个近似$A^R_2$，该等式将非均匀系统的能量与具有矩阵$A^R_2$的均匀系统的能量相等。
• 通过自洽方程$A^R_3 = G^{R,\mathbb{A}}(A^R_3)$引入第三个近似$A^R_3$，其中$G^{R,\mathbb{A}}$将一个矩阵映射为嵌入型校正问题解的平均通量。
• 使用边界积分公式，实现嵌入型校正问题的高效数值求解。
• 在假设2.1下，证明所有三种近似在$R \to \infty$时收敛于真实的均质化矩阵$A^\star$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否提出一种新颖的嵌入型校正问题，用于近似具有高度振荡系数的椭圆PDE中的均质化系数？
• RQ2 所提出的三种近似方法——$A^R_1$、$A^R_2$和$A^R_3$——是否在域半径$R \to \infty$时收敛于真实的均质化矩阵$A^\star$？
• RQ3 能否通过边界积分公式等数值方法高效求解嵌入型校正问题？
• RQ4 自洽方程$A^R_3 = G^{R,\mathbb{A}}(A^R_3)$在何种条件下存在解，且其是否能产生收敛的近似？
• RQ5 在精度和计算效率方面，所提近似方法与标准超胞方法相比如何？

主要发现

• 在假设2.1下，通过$B_R$上通量平均定义的近似$A^R_1$在$R \to \infty$时收敛于$A^\star$。
• 通过能量等式定义的近似$A^R_2$在$R \to \infty$的极限下也收敛于$A^\star$。
• 自洽近似$A^R_3$满足$A^R_3 = G^{R,\mathbb{A}}(A^R_3)$，当序列$R_k \to \infty$且解存在时，其收敛于$A^\star$。
• 在各向同性情形下，若$A^\star = a^\star I_d$，则对任意$R > 0$，存在标量解$a^R_3$，且满足$a^R_3 \to a^\star$当$R \to \infty$。
• 在一维问题中，可推导出$A^R_1$、$A^R_2$和$A^R_3$的显式表达式，并证明其收敛于$A^\star$。
• 当$\mathbb{A}$在$B_R$内为常数时，三种近似完全一致：$A^R_1 = A^R_2 = A^R_3 = A$。