[论文解读] An Emptiness Algorithm for Regular Types with Set Operators

Lunjin Lu, John G. Cleary|ArXiv.org|Nov 11, 1998

Logic, programming, and type systems参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种决策算法，用于判断扩展了集合运算符（并集、交集、补集）的正则类型表达式的空性，给定参数化类型定义。该方法通过不假设元组分配律，推广了先前的工作，支持完整的集合论运算，从而通过其集合差的空性检查实现正则类型表达式之间的等价性和包含性检查。

ABSTRACT

An algorithm to decide the emptiness of a regular type expression with set operators given a set of parameterised type definitions is presented. The algorithm can also be used to decide the equivalence of two regular type expressions and the inclusion of one regular type expression in another. The algorithm strictly generalises previous work in that tuple distributivity is not assumed and set operators are permitted in type expressions.

研究动机与目标

• 开发一种决策程序，用于判断包含集合运算符的正则类型表达式是否为空。
• 将现有空性算法扩展，以支持类型表达式中的完整集合论运算（并集、交集、补集）。
• 消除对元组分配律假设的需求，该假设限制了先前的方法。
• 通过集合差的空性测试，实现正则类型表达式之间的等价性和包含性检查。
• 提供一个形式化且通用的框架，用于推理包含复杂集合运算的正则类型。

提出的方法

• 该算法在一组参数化类型定义上操作正则类型表达式。
• 通过闭包构造方法，计算类型表达式可表示的所有可能值的集合。
• 集合运算（并集、交集、补集）通过正则表达式及其相关自动机的代数操作来处理。
• 通过检查类型表达式的闭包是否包含任何有效值来确定其空性。
• 等价性和包含性分别通过对其对称差和相对补集的空性检查来归约。
• 该方法通过直接操作类型表达式及其语义，利用形式语言理论，避免了元组分配律的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否判断一个包含并集、交集和补集等集合运算符的正则类型表达式是否为空？
• RQ2 该算法在不假设类型表达式中存在元组分配律的情况下，是否仍保持正确性和完备性？
• RQ3 该空性决策程序能否扩展以检查正则类型表达式之间的等价性和包含性？
• RQ4 该算法如何处理复杂集合运算中包含的参数化类型定义？
• RQ5 何种理论基础使得该方法能够超越依赖元组分配律的先前工作而实现泛化？

主要发现

• 该算法能正确判断任意包含集合运算符的正则类型表达式的空性，即使在不假设元组分配律的情况下亦成立。
• 该方法通过将等价性和包含性检查归约为导出表达式的空性检查，支持等价性和包含性检查。
• 该方法通过允许类型表达式中使用任意集合运算符（而不仅限于并集），推广了先前的工作。
• 该算法在给定形式化体系下具有正确性和完备性，其证明基于闭包和自动机理论推理。
• 该框架可扩展至参数化类型定义，支持对复杂类型结构的模块化推理。
• 该解决方案在逻辑和自动机理论基础上形式化构建，确保了正确性和可判定性。