[论文解读] An energy stable fourth order finite difference scheme for the Cahn-Hilliard equation

Kelong Cheng, Wenqiang Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 25被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种二阶精度、能量稳定的有限差分格式，用于求解Cahn-Hilliard方程，采用长 stencil 四阶有限差分空间离散化和二阶BDF时间格式，并引入人工正则化项。关键贡献是通过傅里叶分析实现严格的离散 ℓ² 截断误差分析，将正则性要求降低至 H⁶，从而在 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 范数下实现最优收敛率，同时证明了唯一可解性和能量稳定性。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze an energy stable numerical scheme for the Cahn-Hilliard equation, with second order accuracy in time and the fourth order finite difference approximation in space. In particular, the truncation error for the long stencil fourth order finite difference approximation, over a uniform numerical grid with a periodic boundary condition, is analyzed, via the help of discrete Fourier analysis instead of the the standard Taylor expansion. This in turn results in a reduced regularity requirement for the test function. In the temporal approximation, we apply a second order BDF stencil, combined with a second order extrapolation formula applied to the concave diffusion term, as well as a second order artificial Douglas-Dupont regularization term, for the sake of energy stability. As a result, the unique solvability, energy stability are established for the proposed numerical scheme, and an optimal rate convergence analysis is derived in the $\ell^\infty (0,T; \ell^2) \cap \ell^2 (0,T; H_h^2)$ norm. A few numerical experiments are presented, which confirm the robustness and accuracy of the proposed scheme.

研究动机与目标

• 开发一种高阶、能量稳定的Cahn-Hilliard方程数值格式，提升空间精度。
• 通过使用傅里叶分析而非泰勒展开的离散 ℓ² 截断误差估计，降低对解的正则性要求。
• 为带有人工正则化的二阶时间格式建立唯一可解性和能量稳定性。
• 在 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 范数下推导最优收敛速率。
• 通过数值实验验证该格式的鲁棒性和精度。

提出的方法

• 采用长 stencil 四阶有限差分近似进行空间离散化，截断误差通过离散傅里叶分析而非泰勒展开进行分析。
• 将二阶BDF时间格式与凹扩散项的二阶外推法结合，并引入人工Douglas-Dupont正则化项，以确保能量稳定性。
• 使用离散 ℓ² 范数估计截断误差，从而相比经典 C⁶ 估计，将正则性要求降低至 H⁶。
• 在二维和三维中应用傅里叶谱分析，以控制截断误差估计中的混叠误差和特征值行为。
• 通过离散能量耗散律证明能量稳定性，唯一可解性则通过基于格式结构的不动点论证建立。
• 利用能量估计和离散Sobolev不等式，在 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 范数下推导出最优收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 四阶有限差分格式能否在保持二阶时间精度的同时实现Cahn-Hilliard方程的能量稳定性？
• RQ2 在降低正则性假设下，如何分析长 stencil 四阶有限差分的截断误差？
• RQ3 与泰勒展开相比，使用离散傅里叶分析对测试函数的正则性要求有何影响？
• RQ4 能否为该类格式在 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 范数下建立最优收敛速率？
• RQ5 与现有二阶精度格式相比，所提格式在精度和鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• 所提格式在时间上达到二阶精度，在空间上达到四阶精度，且在 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 范数下实现最优收敛。
• 在 H⁶ 正则性假设下，截断误差在离散 ℓ² 范数下有界，且界与 h⁴ 成正比，相比经典 C⁶ 估计显著降低了正则性要求。
• 通过离散能量耗散律严格证明了能量稳定性，确保格式保持物理上的能量衰减特性。
• 通过基于格式结构的不动点论证，建立了离散系统的唯一可解性。
• 离散傅里叶分析方法成功控制了二维和三维中的混叠误差和特征值行为，从而实现了 ℓ² 截断误差估计。
• 数值实验验证了该格式的鲁棒性、精度以及在二维和三维中的最优收敛速率。