[论文解读] An energy-stable parametric finite element method for simulating solid-state dewetting

Quan Zhao, Wei Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 44被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种能量稳定的参数化有限元方法（ES-PFEM），用于模拟由表面扩散和接触线迁移主导的二维固态脱湿过程。通过将松弛接触角重新表述为罗宾型边界条件，并采用分段线性有限元与后向欧拉时间离散化，该方法在流形距离上实现了二阶空间精度、无条件能量稳定性以及长时间模拟下的均匀网格分布，数值验证表明其具有二阶收敛率和一阶接触角精度。

ABSTRACT

We propose an energy-stable parametric finite element method (ES-PFEM) for simulating solid-state dewetting of thin films in two dimensions via a sharp-interface model, which is governed by surface diffusion and contact line (point) migration together with proper boundary conditions. By reformulating the relaxed contact angle condition into a Robin-type boundary condition and then treating it as a natural boundary condition, we obtain a new variational formulation for the problem, in which the interface curve and its contact points are evolved simultaneously. Then, the variational problem is discretized in space by using piecewise linear elements. A full discretization is presented by adopting the backward Euler method in time, and the well-posedness and energy dissipation of the full discretization are established. The numerical method is semi-implicit (i.e., a linear system to be solved at each time step and thus efficient), unconditionally energy-stable with respect to the time step, and second-order in space measured by a manifold distance between two curves. In addition, it demonstrates equal mesh distribution when the solution reaches its equilibrium, i.e., long-time dynamics. Numerical results are reported to show accuracy and efficiency as well as some good properties of the proposed numerical method.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的能量稳定数值方法，用于模拟具有移动接触线的二维固态脱湿过程。
• 解决在变分形式中引入松弛接触角条件的挑战，以实现开放曲线演化过程的稳定与高精度。
• 在流形距离上实现数值解与精确平衡形状之间误差的二阶空间收敛率，并确保对平衡形状的高精度捕捉。
• 在长时间模拟中保持质量守恒与能量稳定性，并在平衡状态下实现均匀的网格分布。
• 提供一种半隐式、高效的格式，使得每个时间步仅需求解一个线性系统。

提出的方法

• 将松弛接触角条件重新表述为罗宾型边界条件，使其能自然地融入变分形式中。
• 推导一种新的变分形式，使界面曲线及其接触点在表面扩散和接触线迁移作用下同步演化。
• 在参数化网格上使用分段线性有限元对空间问题进行离散化。
• 在时间方向采用后向欧拉方法，以实现无条件能量稳定性和全离散格式的良好适定性。
• 通过构造确保能量耗散，使离散能量在每个时间步单调递减。
• 实现一种半隐式格式，每个时间步仅求解一个线性系统，从而保证计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种参数化有限元方法，使其在具有移动接触线的固态脱湿过程中保持开放曲线演化的能量稳定性？
• RQ2 如何在变分框架中自然地强制实施松弛接触角条件，以确保数值格式的稳定性和准确性？
• RQ3 该方法在数值解与精确平衡形状之间流形距离误差上的收敛率是多少？
• RQ4 该方法在长时间平衡状态下是否保持质量守恒并呈现均匀的网格分布？
• RQ5 该方法能否在这一类开放曲线演化问题中实现二阶空间精度？

主要发现

• 所提出的ES-PFEM在数值解与精确平衡形状之间的流形距离误差上实现了二阶收敛率，验证了其高空间精度。
• 平衡状态下接触角误差以一阶收敛，即 |θₑ − θᵢ| = O(h)，验证了该方法在捕捉热力学平衡状态方面的准确性。
• 该方法具有无条件能量稳定性，离散能量随时间单调递减，确保了长时间模拟的鲁棒性。
• 在平衡状态下，数值解表现出均匀的网格分布，表明该方法能正确捕捉长期动力学行为。
• 数值模拟结果表明，所有初始岛状形状最终均演化为与基底以杨氏角θᵢ相交的圆弧，无论初始几何形状如何。
• 该方法保持质量守恒，并由于其半隐式、基于线性系统的时间推进策略而展现出优异的计算效率。