[论文解读] An enhanced formulation for solving graph coloring problems with the Douglas-Rachford algorithm

Francisco J. Aragón Artacho, Rubén Campoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种基于Karger-Motwani-Sudan（KMS）框架的新型半定规划公式，旨在提升Douglas-Rachford（DR）算法在图顶点着色问题中的性能。通过使用秩约束矩阵替代二值指示变量来重构问题，DR算法在各类DIMACS基准测试中实现了100%的成功率，包括极具挑战性的数独实例，并有效避免了极限环陷阱——相较于先前的公式，展现出更优的鲁棒性与效率。

ABSTRACT

We study the behavior of the Douglas-Rachford algorithm on the graph vertex-coloring problem. Given a graph and a number of colors, the goal is to find a coloring of the vertices so that all adjacent vertex pairs have different colors. In spite of the combinatorial nature of this problem, the Douglas-Rachford algorithm was recently shown to be a successful heuristic for solving a wide variety of graph coloring instances, when the problem was cast as a feasibility problem on binary indicator variables. In this work we consider a different formulation, based on semidefinite programming. The much improved performance of the Douglas-Rachford algorithm, with this new approach, is demonstrated through various numerical experiments.

研究动机与目标

• 通过重新定义约束公式，提升Douglas-Rachford算法在求解图着色问题时的性能。
• 探究半定规划公式（KMS）在收敛性和成功率方面是否优于以往基于二值指示变量的公式。
• 分析DR算法在不同公式下的鲁棒性，特别是其在避免投影启发式算法中常见的极限环行为方面的表现。
• 评估新公式在DIMACS基准测试套件中大规模图着色实例上的可扩展性与效率。
• 探索非凸可行性问题中解的多重性与算法失效模式之间的经验关联。

提出的方法

• 将图着色问题基于Karger-Motwani-Sudhan（KMS）半定规划框架进行重构，其中每个顶点关联一个秩一矩阵以表示其着色分配。
• 可行性问题定义为两个集合的交集：满足着色分配约束的矩阵集合（C1）与迹为一的半正定矩阵集合（C2），构成一个非凸可行性问题。
• 在该公式下应用Douglas-Rachford算法，对两个约束集合使用反射与投影算子，松弛参数λ设为0.75。
• 算法通过迭代地投影到两个集合并进行反射，生成收敛至可行解的序列（若解存在）。
• 采用Frobenius范数与矩阵投影实现方法，通过可行性容差与最大迭代次数监控收敛性。
• 数值实验在30个DIMACS基准图上对比了KMS公式与先前的二值变量公式，测量成功率、耗时与迭代次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用Douglas-Rachford算法进行图着色时，KMS半定规划公式是否相比二值指示变量公式能带来更高的成功率？
• RQ2 KMS公式能否缓解投影启发式算法中已知的极限环陷阱问题？
• RQ3 在使用KMS公式时，DR算法在不同图类型与色数下的性能表现如何变化？
• RQ4 KMS公式性能的提升是否与解空间中解的多重性或对称性降低有关？
• RQ5 KMS公式能否在合理时间限制内高效求解大规模图着色问题（如数百个顶点、数千条边）？

主要发现

• KMS公式在所测试的全部30个DIMACS基准实例中均实现了100%的成功率，包括在之前二值公式下失败的9/10次myciel7实例。
• 对于具有挑战性的“恶劣”数独实例（作为预着色问题处理），KMS公式实现了100%的成功率，而先前公式成功率不足20%。
• 大多数图的平均求解时间低于一小时，最长平均时间为mulsol.i.2（188个顶点，3,885条边，色数31）的63.18秒。
• 算法对初始点不敏感，在每个实例的100次运行中均未观察到极限环，表明对这一常见失效模式具有免疫性。
• 平均迭代次数从myciel3的7次到mulsol.i.2的8,696次不等，最高迭代次数对应于色数高且密集的图。
• 该方法成功在平均24.65秒内求解了大规模实例miles1500（128个顶点，5,198条边，色数73），展现出良好的可扩展性。