[论文解读] An enriched multiscale mortar space for high contrast flow problems

Eric T. Chung, Shubin Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种基于广义多尺度有限元法（GMsFED）的增强型多尺度砂浆空间，以提升高对比度渗流问题中的鲁棒性与效率。通过利用快照空间和本征正交分解（POD）构建局部多尺度基函数，该方法实现了精确的粗网格求解器以及对对比度和区域尺寸不敏感的鲁棒两层预条件子。

ABSTRACT

Mortar methods are widely used techniques for discretizations of partial differential equations and preconditioners for the algebraic systems resulting from the discretizations. For problems with high contrast and multiple scales, the standard mortar spaces are not robust, and some enrichments are necessary in order to obtain an efficient and robust mortar space. In this paper, we consider a class of flow problems in high contrast heterogeneous media, and develop a systematic approach to obtain an enriched multiscale mortar space. Our approach is based on the constructions of local multiscale basis functions. The multiscale basis functions are constructed from local problems by following the framework of the Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM). In particular, we first create a local snapshot space. Then we select the dominated modes within the snapshot space using an appropriate Proper Orthogonal Decomposition (POD) technique. These multiscale basis functions show better accuracy than polynomial basis for multiscale problems. Using the proposed multiscale mortar space, we will construct a multiscale finite element method to solve the flow problem on a coarse grid and a preconditioning technique for the fine scale discretization of the flow problem. In particular, we develop a multiscale mortar mixed finite element method using the mortar space. In addition, we will design a two-level additive preconditioner and a two-level hybrid preconditioner based on the proposed mortar space for the iterative method applied to the fine scale discretization of the flow problem. We present several numerical examples to demonstrate the efficiency and robustness of our proposed mortar space with respect to both the coarse multiscale solver and the preconditioners.

研究动机与目标

• 解决标准砂浆空间在高对比度、多尺度渗流问题中缺乏鲁棒性的问题。
• 提出一种系统化方法，构建能捕捉细尺度非均质性同时保持低维度的增强砂浆空间。
• 为粗网格与细网格离散化提供高效且精确的多尺度有限元求解器及鲁棒预条件子。
• 确保砂浆空间在不同对比度水平与区域尺寸下均保持有效性。

提出的方法

• 通过在粗网格边界的区域上求解局部问题，并将解限制在边上，构建局部快照空间。
• 应用本征正交分解（POD）从快照空间中提取主导模态，形成砂浆空间的多尺度基函数。
• 在粗网格上使用所得的多尺度砂浆空间，通过多尺度砂浆混合有限元法求解渗流问题。
• 为应用于细网格离散化的迭代求解器设计两层加法与混合预条件子，将多尺度砂浆空间作为粗空间使用。
• 将砂浆空间整合进结合块雅可比平滑与多尺度粗网格校正的两层预条件框架中。
• 通过在砂浆空间上强制施加拉格朗日乘子，确保全局通量连续性，实现子域间的弱耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地构建一种多尺度砂浆空间，以确保在高对比度异质介质中的鲁棒性？
• RQ2 与多项式基函数相比，使用多尺度基函数在对比度变化下的收敛鲁棒性如何？
• RQ3 局部预条件子域的选择在多大程度上影响使用所提砂浆空间的迭代求解器的收敛性？
• RQ4 增强的砂浆空间是否能在不同区域尺寸与对比度水平下保持效率与准确性？

主要发现

• 与基于多项式基的粗空间相比，多尺度砂浆空间显著减少了PCG迭代次数，尤其在高对比度下表现更优：例如，对比度为$10^6$时，多尺度基的迭代次数保持在17次以下，而多项式基的迭代次数则从13次增至39次。
• 混合预条件子在迭代次数方面优于加法预条件子，尽管其每轮迭代需应用两次粗空间预条件子。
• 将局部预条件子限制在子域（第2–4子域）时，GMRES(2)的迭代次数相比第1子域减少约一半，表明局部条件数得到改善。
• 所有子域类型与预条件子变体的迭代次数几乎不随对比度变化，证实了所提方法的鲁棒性。
• 使用随机快照（情形4）的迭代次数略高于确定性快照（情形3），但依然保持鲁棒性与效率。
• 该方法实现了对比度无关的收敛性，迭代次数在$10^2$、$10^4$与$10^6$对比度水平下均保持稳定，验证了其鲁棒性。