[论文解读] An ensemble algorithm for numerical solutions to deterministic and random parabolic PDEs

Yan Luo, Zhu Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于集成的时步算法，用于高效求解具有不同系数、初值/边界条件及源项的确定性和随机抛物型PDE组。通过使用扩散系数的集成平均值和半隐式时间积分格式，该方法将多个右端向量的单个线性系统进行求解，实现了首阶时间精度和最优空间收敛率，同时与单独模拟相比，计算成本降低了高达70%。

ABSTRACT

In this paper, we develop an ensemble-based time-stepping algorithm to efficiently find numerical solutions to a group of linear, second-order parabolic partial differential equations (PDEs). Particularly, the PDE models in the group could be subject to different diffusion coefficients, initial conditions, boundary conditions, and body forces. The proposed algorithm leads to a single discrete system for the group with multiple right-hand-side vectors by introducing an ensemble average of the diffusion coefficient functions and using a new semi-implicit time integration method. The system could be solved more efficiently than multiple linear systems with a single right-hand-side vector. We first apply the algorithm to deterministic parabolic PDEs and derive a rigorous error estimate that shows the scheme is first-order accurate in time and is optimally accurate in space. We then extend it to find stochastic solutions of parabolic PDEs with random coefficients and put forth an ensemble-based Monte Carlo method. The effectiveness of the new approach is demonstrated through theoretical analysis. Several numerical experiments are presented to illustrate our theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种高效的数值方法，用于求解具有不同参数的大规模抛物型PDE组。
• 在涉及多个初值条件、边界条件、源项和扩散系数的模拟中，降低计算成本。
• 通过蒙特卡罗框架，将集成方法扩展至具有随机系数的随机PDE。
• 为确定性和随机情形建立严格的误差估计。
• 通过理论分析和数值实验，展示该方法的效率和准确性。

提出的方法

• 在每个时间步引入扩散系数函数的集成平均值，以构建共享的系数矩阵。
• 制定一种半隐式时间积分格式，通过平均扩散系数将所有集成成员耦合在一起。
• 在每个时间步求解一个具有多个右端向量的线性系统，替代J个独立的系统。
• 使用有限元方法进行空间离散化，确保空间中达到最优收敛率。
• 应用基于集成的蒙特卡罗方法，以近似随机PDE中诸如期望和方差等统计量。
• 利用共享矩阵结构，与单独模拟相比，将存储和计算成本降低高达70%。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种基于集成的方法，以高效地同时求解具有非恒定、变化的扩散系数的多个抛物型PDE？
• RQ2 所提出的集成格式在确定性抛物型PDE中，其时间与空间的收敛行为如何？
• RQ3 如何在保持精度的前提下，将集成方法扩展至具有随机系数的随机抛物型PDE？
• RQ4 与标准的独立蒙特卡罗模拟相比，集成蒙特卡罗方法在多大程度上降低了计算成本？
• RQ5 基于集成的统计量近似（例如均值、标准差）与独立模拟结果的匹配程度如何？

主要发现

• 该集成格式在确定性抛物型PDE中实现了首阶时间精度和最优空间收敛率。
• L²和H¹范数中的误差以大约O(1/√J)的速率衰减，与理论预测一致。
• 集成蒙特卡罗（EMC）方法产生的解的均值和标准差与独立FEMC模拟结果的绝对差值在10⁻⁷以内。
• 当J = 5000时，集成方法的计算时间相比独立模拟降低了约70%。
• 集成模拟中感兴趣的量的直方图与独立模拟结果非常接近，绝对差异在10⁻⁷量级。
• 该方法可扩展至非线性抛物型PDE，表明其在不确定性量化和大规模模拟中具有广泛适用性。