[论文解读] An Entourage Approach to the Contraction Principle in Uniform Spaces Endowed with a Graph

Aris Aghanians, Kamal Fallahi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文通过使用邻域系将巴拿赫压缩原理推广至赋予有向图的统一空间，建立了映射为皮卡德算子的充分条件。通过利用基本邻域系与图的连通性，将雅赫姆斯基在度量空间中的结果推广至统一空间，证明了在弱连通图与轨道G-连续性条件下，巴拿赫G-压缩映射存在唯一不动点。

ABSTRACT

In this paper, we study Banach contractions in uniform spaces endowed with a graph and give some sufficient conditions for a mapping to be a Picard operator. Our main results generalize some results of [J. Jachymski, "The contraction principle for mappings on a metric space with a graph", Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008) 1359-1373] employing the basic entourages of the uniform space.

研究动机与目标

• 将雅赫姆斯基的压缩原理从度量空间推广至赋予图的统一空间。
• 在赋予图结构的统一空间中，建立映射为皮卡德算子的充分条件。
• 利用统一空间的基本邻域系，将不动点结果推广至超越度量设定的范畴。
• 研究弱连通性与轨道G-连续性在确保唯一不动点中的作用。
• 提供一个结合统一空间理论与图论压缩条件的统一框架。

提出的方法

• 利用由伪度量导出的基本邻域系来定义空间中的统一结构，从而在一般统一结构中实现类似度量的分析。
• 在统一空间中引入巴拿赫G-压缩的概念，其中压缩条件通过邻域系与图边来表达。
• 基于底层无向图的弱连通性，定义等价关系 [x]_G̃，以识别不变集。
• 应用轨道G-连续性的概念，以确保迭代序列在连通分支内收敛。
• 利用序列完备性与迭代序列的等连续性，将收敛性从可 dense 子集扩展至整个空间。
• 证明：若G是弱连通的，且T是非扩张或等连续的巴拿赫G-压缩映射，则T在 [x]_G̃ 的闭包上的限制是一个皮卡德算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋予图的统一空间中，巴拿赫G-压缩在何种条件下具有唯一不动点？
• RQ2 如何利用图结构将经典压缩原理从度量空间推广至统一空间？
• RQ3 图的弱连通性在确保统一空间中迭代序列收敛方面起到何种作用？
• RQ4 轨道G-连续性与迭代序列的等连续性在统一空间中映射的不动点行为中起何种影响？
• RQ5 在具有图结构的统一完备空间中，非扩张映射是否可在图连通性条件下保证为皮卡德算子？

主要发现

• 若G是弱连通的，且T是具有非空不动点集的轨道G-连续巴拿赫G-压缩映射，则T是一个弱皮卡德算子。
• 序列完备性与弱连通性共同表明：每个具有不动点的轨道G-连续巴拿赫G-压缩映射都是皮卡德算子。
• 在序列完备空间上，若图G是弱连通的，则非扩张巴拿赫G-压缩映射是皮卡德算子。
• 对于任意 x ∈ X 满足 Tx ∈ [x]_G̃，若迭代序列等连续，则T在 [x]_G̃ 闭包上的限制是皮卡德算子。
• 若底层图不是弱连通的，则存在一个轨道G-连续巴拿赫G-压缩映射，其至少有两个不动点。
• 若映射是轨道G-连续的且空间是序列完备的，则对所有属于弱连通分支 [x]_G̃ 的x，迭代序列 T^n x 收敛至不动点。