[论文解读] An entropic interpolation problem for incompressible viscid fluids

Marc Arnaudon, Ana Bela Cruzeiro+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文提出了一类不可压缩粘性流体的随机变分问题，将其表述为在固定初始与最终边际分布下，对布朗运动路径上的概率测度进行熵最小化。该问题与纳维-斯托克斯方程之间建立了对偶关系，表明在压力满足正则性假设的条件下，解的动力学行为与粘性流体动力学一致。

ABSTRACT

In view of studying incompressible inviscid fluids, Brenier introduced in the late 80's a relaxation of a geodesic problem addressed by Arnold in 1966. Instead of inviscid fluids, the present paper is devoted to incompressible viscid fluids. A natural analogue of Brenier's problem is introduced, where generalized flows are no more supported by absolutely continuous paths, but by Brownian sample paths. It turns out that this new variational problem is an entropy minimization problem with marginal constraints entering the class of convex minimization problems. This paper explores the connection between this variational problem and Brenier's original problem. Its dual problem is derived and the general shape of its solution is described. Under the restrictive assumption that the pressure is a nice function, the kinematics of its solution is made explicit and its connection with the Navier-Stokes equation is established.

研究动机与目标

• 通过将确定性路径替换为随机布朗运动，将布雷耶尔（Brenier）对阿诺德测地问题的熵松弛方法推广至不可压缩粘性流体。
• 在不可压缩性和边际约束条件下，将相对于维纳测度的相对熵最小化问题形式化为变分问题。
• 推导对偶问题，并将压力场识别为不可压缩性约束的自然拉格朗日乘子。
• 在压力具有正则性假设的条件下，建立熵问题解与纳维-斯托克斯方程之间的联系。
• 通过熵准则与紧致性论证，在环面 $\mathbb{T}^n$ 上证明解的存在性。

提出的方法

• 将布雷丁格（Bredinger）问题表述为在路径空间 $\Omega = C([0,1], \mathcal{X})$ 上的概率测度上关于相对熵的凸最小化问题。
• 利用自然过程 $X_t(\omega) = \omega_t$ 定义时间边际分布，并通过均匀时间边际约束强制实现不可压缩性。
• 应用凸对偶理论推导对偶问题，其中压力场作为不可压缩性约束的拉格朗日乘子自然出现。
• 将解相对于维纳测度的Radon-Nikodym密度表征为一个互逆过程，其未必是马尔可夫过程。
• 假设压力为光滑函数，通过随机微分方程显式描述解的动力学行为。
• 利用Cameron-Martin-Girsanov公式与路径熵分解分析 $H(Q|R)$，并通过紧致性与熵项连续性证明在 $\mathbb{T}^n$ 上的解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 布雷耶尔对测地运动的熵松弛方法能否通过布朗运动推广至不可压缩粘性流体？
• RQ2 熵最小化表述的对偶问题是什么？压力场如何作为拉格朗日乘子出现？
• RQ3 在何种条件下，熵问题的解对应于满足纳维-斯托克斯方程的随机过程？
• RQ4 当压力为光滑函数时，如何显式描述解的动力学行为？
• RQ5 在环面 $\mathbb{T}^n$ 上，熵问题解存在的条件是什么？

主要发现

• 不可压缩粘性流体的熵插值问题被形式化为在边际约束与不可压缩性约束下，相对于维纳测度的相对熵凸最小化问题。
• 推导出对偶问题，压力场被识别为强制不可压缩性的拉格朗日乘子，与布雷耶尔框架一致。
• 布雷丁格问题的解为互逆过程，但不一定是马尔可夫过程，其相对于维纳测度的Radon-Nikodym密度以一般形式表征。
• 在假设压力为光滑函数的条件下，解的动力学行为通过与纳维-斯托克斯方程相关的随机微分方程显式描述。
• 在环面 $\mathbb{T}^n$ 上，布雷丁格问题的解存在当且仅当相对熵 $H(\pi|R_{01})$ 有限，且熵 $H(\mathrm{vol}|R^{xy}_{1/2})$ 在 $x,y \in \mathbb{T}^n$ 上一致有界。
• 通过熵分解与密度比 $dR^{xy}_{1/2}/d\mathrm{vol}$ 在紧致环面上的连续性，建立了 $H(Q|R)$ 的有限性，从而在所述熵条件成立下确保了解的存在性。