[论文解读] An entropy-stable and fully well-balanced scheme for the Euler equations with gravity

Christophe Berthon, Victor Michel-Dansac+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2024

Navier-Stokes equation solutions被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于含重力的欧拉方程的新型戈杜诺夫型有限体积格式，该格式完全满足良好平衡性、熵稳定性和正性保持性。通过将HLL黎曼求解器扩展，并基于积分一致性与熵稳定性处理源项，该格式在机器精度范围内精确保持所有运动和静止的等熵稳态，同时满足离散熵不等式并保持密度和压强的正性。

ABSTRACT

The present work concerns the derivation of a numerical scheme to approximate weak solutions of the Euler equations with a gravitational source term. The designed scheme is proved to be fully well-balanced since it is able to exactly preserve all moving equilibrium solutions, as well as the corresponding steady solutions at rest obtained when the velocity vanishes. Moreover, the proposed scheme is entropy-preserving since it satisfies all fully discrete entropy inequalities. In addition, in order to satisfy the required admissibility of the approximate solutions, the positivity of both approximate density and pressure is established. Several numerical experiments attest the relevance of the developed numerical method. An extension to two-dimensional problems is given, applying the one-dimensional framework direction by direction on Cartesian grids.

研究动机与目标

• 开发一种数值格式，精确保持含重力的欧拉方程的所有等熵稳态解（包括运动与静止状态）。
• 确保该格式满足离散熵不等式，从而保证弱解的物理可接受性。
• 在所有离散解中严格保持密度与压强的正性，这是鲁棒性的基本要求。
• 将该格式扩展至高阶精度，同时保持完全良好平衡性。
• 展示该方法在捕捉含重力的复杂二维稳态与动态流方面的能力。

提出的方法

• 设计一种具有两个中间状态的近似黎曼求解器，使其满足哈滕、拉克斯与范勒尔（HLL）关于源项的积分一致性条件。
• 将源项离散化，使得该格式对所有稳态解（包括非平凡的运动平衡）均精确良好平衡。
• 强制执行熵的积分一致性条件，以确保满足离散熵不等式，利用HLL熵的递减原理。
• 基于改进的黎曼求解器构建戈杜诺夫型有限体积格式，确保一致性、正性与熵稳定性。
• 应用高阶重构技术（例如MUSCL型）将一阶格式升级为高阶格式，同时保持完全良好平衡性。
• 通过交替方向分裂法将一维框架扩展至二维，在结构化笛卡尔网格上逐方向应用良好平衡程序。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种数值格式，精确保持含重力的欧拉方程的所有运动与静止等熵稳态解？
• RQ2 在存在重力源项的情况下，如何在保持一致性与正性的同时强制实现离散熵稳定性？
• RQ3 对HLL黎曼求解器需进行何种修改，才能在重力作用下同时实现良好平衡性与熵稳定性？
• RQ4 该一阶格式在不损失完全良好平衡性的情况下，可被扩展至多高阶精度？
• RQ5 该格式能否准确捕捉重力仅在一个空间方向作用的二维稳态？

主要发现

• 所提出的格式在1D与2D数值实验中，精确保持所有等熵稳态解（包括运动与静止状态），精度达到机器精度。
• 基于HLL的黎曼求解器通过改进的源项处理，满足熵的递减原理，从而可证明离散熵不等式成立。
• 在2D运动稳态测试中，良好平衡格式的密度与压强相对L2误差低于10−16，而非良好平衡的HLL格式则产生10−3至10−2量级的误差。
• 对2D运动稳态的微扰测试未产生虚假波或数值伪影，证实该格式在小扰动下仍能维持平衡状态。
• 具有高斯重力势的内爆测试准确捕捉了径向压缩与激波形成，未出现非物理振荡。
• 所有模拟中均保持密度与压强的正性，且所有测试案例中熵不等式均被满足。