[论文解读] An enumeration of certain projective ternary two-weight codes and their relationship to the cubic Segre variety

Michael Martis, John Bamberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文枚举了在 PG(5,3) 中关于阶为 7 的射影变换保持不变的所有长度为 56、维数为 6 的射影三元两权码，共识别出 6,635 个在射影等价意义下的此类码。该研究建立了它们与三次 Segre 簇的联系，并揭示了具有参数 (729, 364, 181, 182) 的新型强正则图，扩展了已知构造，如 Hill 的 56-帽和 Gulliver 的例子。

ABSTRACT

We detail the enumeration of all two-intersection sets of the five-dimensional projective space over the field of order 3 that are invariant under an element of order 7, which include the examples of Hill (1973) and Gulliver (1996). Up to projective equivalence, there are 6635 such two-intersection sets.

研究动机与目标

• 系统枚举 PG(5,3) 中所有关于阶为 7 的射影变换保持不变的两交集集。
• 在射影等价意义下对长度为 56、维数为 6 的 F₃ 上的射影两权线性码进行分类。
• 探索这些码、三次 Segre 簇以及强正则图之间的几何与代数联系。
• 通过对称性约化识别新结构，扩展已知例子，如 Hill 的 56-帽和 Gulliver 的码。

提出的方法

• 利用线性规划技术在 PG(5,3) 中搜索两交集集，重点关注关于阶为 7 的元素保持不变的集合。
• 利用恒等式 q²−q+1 = 7（当 q=3 时）来消除对称性，并将这些集合与三次 Segre 簇关联起来。
• 从两交集集的点构造生成矩阵，确保其满足射影性与两权性质。
• 应用 Delsarte 对应关系，将两交集集转换为两权码，再进一步转换为强正则图。
• 使用计算设施进行详尽计算，以验证并分类所有在射影等价意义下的此类码。
• 利用已知构造方法如 'SU2' 和 'CY2' 来识别并验证具有星号标记稳定子的特定例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在射影等价意义下，F₃ 上长度为 56、维数为 6 且关于阶为 7 的射影变换保持不变的射影两权码共有多少个？
• RQ2 这些两交集集与 PG(5,3) 中的三次 Segre 簇之间存在何种精确关系？
• RQ3 已知例子如 Hill 的 56-帽或 Gulliver 的码是否均包含在这一类对称两交集集中？
• RQ4 这些码会产生哪些新型强正则图，其参数为何？
• RQ5 这些码的稳定子结构是否揭示了与同构关联方案或其他组合设计的联系？

主要发现

• 在射影等价意义下，PG(5,3) 中关于阶为 7 的射影变换保持不变的两交集集恰好有 6,635 个。
• 该构造产生了 21 个参数为 (729, 364, 181, 182) 的强正则图，其中包括稳定子阶为 14、42、168、21、546** 和 1092** 的例子。
• 稳定子阶为 20160 的例子源自 Hill-帽稳定子的导出子群，产生了一个参数为 (182, 6, 56, 65) 的两交集集。
• 21 个图中的五个通过 'SU2' 构造与部分散列相关联，两个通过 'CY2' 构造生成，双星号标记已标明。
• 这些码是两权码，权重分别为 36 和 45，对应于由两交集集点构成的生成矩阵的对偶。
• 当 q ≡ 1 mod 3 时，三次 Segre 簇为分类这些对称两交集集提供了自然的几何框架。