[论文解读] An Enumerative Function

Milan Janjić|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入了一个枚举函数 $F(n,k,P,m)$，该函数通过计数 $n+k$-inset（即与大小为 $p_1,\dots,p_n$ 的 $n$ 个主块全部相交的子集）来推广二项式系数、阶乘以及上升/下降阶乘。其主要贡献是一个统一的组合框架，该框架扩展了范德蒙德卷积，并通过递推关系为切比雪夫多项式提供了纯粹的组合定义。

ABSTRACT

We define an enumerative function F(n,k,P,m) which is a generalization of binomial coefficients. Special cases of this function are also power function, factorials, rising factorials and falling factorials. The first section of the paper is an introduction. In the second section we derive an explicit formula for F. From the expression for the power function we obtain a number theory result. Then we derive a formula which shows that the case of arbitrary m may be reduced to the case m=0. This formula extends Vandermonde convolution. In the second section we describe F by the series of recurrence relations with respect to each of arguments k, n, and P. As a special case of the first recurrence relation we state a binomial identity. As a consequence of the second recurrence relation we obtain relation for coefficients of Chebyshev polynomial of both kind. This means that these polynomials might be defined in pure combinatorial way.

研究动机与目标

• 定义一个广义枚举函数 $F(n,k,P,m)$，以统一二项式系数、阶乘以及上升/下降阶乘。
• 使用容斥原理（PIE）推导出 $F(n,k,P,m)$ 的显式公式，表明其为二项式系数的交错和。
• 证明当 $m$ 任意时，一般情况可约化为 $m=0$ 的情况，从而推广范德蒙德卷积。
• 建立关于 $n$、$k$ 和 $P$ 的 $F(n,k,P,m)$ 的递推关系，揭示其与切比雪夫多项式之间的联系。
• 证明第一类和第二类切比雪夫多项式均可通过 $F(n,k,P,m)$ 的系数进行纯粹的组合定义。

提出的方法

• 使用容斥原理（PIE）推导显式公式：$F(n,k,P,m) = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|} \binom{N - \sum_{i \in I} p_i}{n+k}$，其中 $N = \sum p_i + m$。
• 推导约化公式：$F(n,k,P,m) = \sum_{i=0}^{\min(m,k)} \binom{m}{i} F(n,k-i,P,0)$，表明 $m > 0$ 的情况可约化为 $m = 0$ 的情况。
• 建立关于块数的递推关系：对每个 $j \in [n]$，有 $F(n,k,P,m) = \sum_{i=1}^{p_j} \binom{p_j}{i} F(n-1,k-i+1,P\setminus\{p_j\},m)$。
• 证明当所有 $p_i = 2$ 时，递推式 $c(n,k,m) = 2c(n-1,k,m) + c(n-1,k-1,m)$ 与切比雪夫多项式系数的递推式一致。
• 通过变量替换 $a(r,s) = (-1)^k c(n,k,m)$ 将 $F$-系数映射为切比雪夫系数，表明其满足标准递推式 $a(r,s) = 2a(r-1,s-1) - a(r-2,s)$。
• 推导一般变换公式：$F(n,k,P,m) = F(n-r,k,Q,m) + \sum_{i=1}^{|I_0|} \sum_{j=0}^i \binom{n}{i} \binom{i}{j} F(n-j,k-i+j,Q,m)$，其中 $Q$ 对 $i \in I_0$ 的块大小进行调整。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的枚举函数，能够统一推广二项式系数、阶乘以及上升/下降阶乘？
• RQ2 函数 $F(n,k,P,m)$ 是否可通过容斥原理获得闭式表达？
• RQ3 当 $m > 0$ 时，是否可约化为 $m = 0$ 的情况？这是否推广了范德蒙德卷积？
• RQ4 $F(n,k,P,m)$ 关于 $n$、$k$ 和 $P$ 的递推关系是否产生已知的组合序列？
• RQ5 第一类和第二类切比雪夫多项式是否可通过 $F(n,k,P,m)$ 的系数进行纯粹的组合定义？

主要发现

• 显式公式 $F(n,k,P,m) = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|} \binom{N - \sum_{i \in I} p_i}{n+k}$ 推广了二项式系数，并导出恒等式 $p^n = \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} \binom{pn + m - pi}{n}$。
• 对于素数 $q$，恒等式 $q \mid r^q - \binom{rq + m}{q} + \binom{m}{q}$ 对所有整数 $r > 1$、$m \geq 0$ 成立，该结果由 $p^n$ 恒等式导出。
• 约化公式 $F(n,k,P,m) = \sum_{i=0}^{\min(m,k)} \binom{m}{i} F(n,k-i,P,0)$ 在 $n=1$ 时推广了范德蒙德卷积，恢复出 $\binom{p+m}{k+1} = \sum_{i=0}^{\min(m,k+1)} \binom{m}{i} \binom{p}{k-i+1}$。
• 当所有 $p_i = 2$ 时，递推式 $c(n,k,m) = 2c(n-1,k,m) + c(n-1,k-1,m)$ 与切比雪夫多项式系数的递推式一致。
• $p_i = 2$ 时，系数 $(-1)^k F(n,k,P,m)$ 满足标准切比雪夫递推式 $a(r,s) = 2a(r-1,s-1) - a(r-2,s)$，从而证明了两类切比雪夫多项式的组合定义。
• 一般变换公式将 $F(n,k,P,m)$ 表示为 $F(n-j,k-i+j,Q,m)$ 的形式，其中 $Q$ 对某子集索引的块大小进行缩减，从而支持递归计算。