[论文解读] An equidistribution theorem for holomorphic Siegel modular forms for $GSp_4$

Henry H. Kim, Satoshi Wakatsuki+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用 5

一句话总结

该论文通过使用一个全纯离散系列的伪系数的阿瑟不变迹公式，建立了关于 $GSp_4/\mathbb{Q}$ 上全纯 Siegel cusp 形式（度数为 2）的等分布定理，揭示了来自非半单贡献的新第二主项 $A$、$B_1$ 和来自半单元素的神秘项 $B_2$，从而实现了对垂直 Sato-Tate 定理、Hecke 域无界性以及 $L$-函数低阶零点等应用的突破。

ABSTRACT

We prove an equidistribution theorem for a family of holomorphic Siegel cusp forms for $GSp_4/\mathbb{Q}$ in various aspects. A main tool is Arthur's invariant trace formula. While Shin and Shin-Templier used Euler-Poincaré functions at infinity in the formula, we use a pseudo-coefficient of a holomorphic discrete series to extract holomorphic Siegel cusp forms. Then the non-semisimple contributions arise from the geometric side, and this provides new second main terms $A, B_1$ in the main theorem which have not been studied and a mysterious second term $B_2$ also appears in the second main term coming from the semisimple elements. Furthermore our explicit study enables us to treat more general aspects in the weight. We also give several applications including the vertical Sato-Tate theorem, the unboundedness of Hecke fields and low-lying zeros for degree 4 spinor $L$-functions and degree 5 standard $L$-functions of holomorphic Siegel cusp forms.

研究动机与目标

• 建立关于 $GSp_4/\mathbb{Q}$ 上度数为 2 的全纯 Siegel cusp 形式的等分布定理，涵盖水平和权两个方面。
• 通过在迹公式中包含非半单贡献，弥补先前研究的局限性，这些贡献曾因使用 Euler-Poincaré 函数而被忽略。
• 提供无需依赖 Langlands 函子性或其他猜想的无条件结果。
• 识别并分析迹公式几何侧贡献中出现的新第二主项 $A$、$B_1$ 和神秘项 $B_2$。
• 将等分布结果应用于证明垂直 Sato-Tate 定理、Hecke 域无界性以及旋子与标准 $L$-函数的低阶零点。

提出的方法

• 使用阿瑟的不变迹公式，结合全纯离散系列的伪系数，使谱侧能分离出全洁 Siegel cusp 形式。
• 通过谱分解和自守计数测度，将迹公式与 Hecke 特征值分布联系起来。
• 显式计算几何侧贡献，包括通过 $I_2(f)$ 和 $I_3(f)$ 处理非半单项，以及对高阶项估计 $I_5(f)$。
• 区分来自主系、CAP 和余谱的贡献，表明它们均属于误差项。
• 对轨道积分和全局系数 $a^G(S,\gamma)$ 使用一致估计，以控制几何侧。
• 利用 $GSp_4(\mathbb{Q}_p)$ 的球对称一般单位表示的分类，对 $|b_F(p^l)|$ 进行有界处理，确保 $L$-函数级数的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $GSp_4$ 上全洁 Siegel cusp 形式的 Hecke 特征值等分布中，第二主项的结构是什么？
• RQ2 迹公式中的非半单贡献如何影响谱计数测度及由此产生的等分布？
• RQ3 从半单元素中出现的神秘第二主项 $B_2$ 的来源和意义是什么？
• RQ4 能否通过迹公式技术证明全洁 Siegel cusp 形式的垂直 Sato-Tate 定理？
• RQ5 等分布结果对旋子 $L$-函数（度数为 4）和标准 $L$-函数（度数为 5）的低阶零点有何影响？

主要发现

• 在水平方面和权方面均建立了等分布定理，其中来自非半单贡献的第二主项 $A$ 和 $B_1$ 被识别。
• 从半单元素中出现了一个新第二主项 $B_2$，其表示论起源仍属神秘，有待进一步研究。
• 误差项在水平方面有界于 $O(p^{a\kappa+b}_{S'}\varphi(N)N^{-3})$，在权方面有界于 $O\left(\frac{p^{a'\kappa+b'}}{(k_1-k_2+1)(k_1-1)(k_2-2)}\right)$。
• CAP 和余谱的余项被并入误差项，证实主项主要由全洁离散系列贡献主导。
• 证明了垂直 Sato-Tate 定理，表明在权方面归一化的 Hecke 特征值是等分布的。
• 作为应用，建立了 Hecke 域无界性以及旋子 $L$-函数（度数为 4）和标准 $L$-函数（度数为 5）的低阶零点。