[论文解读] An equivalence theorem for reduced Fell bundle C*-algebras

Aidan Sims, Dana P. Williams|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 18

一句话总结

本文通过在链接群胚上构造一个编码等价Fell丛之间Morita等价的链接丛，建立了约化Fell丛C*-代数之间的等价定理。关键结果表明，链接丛的约化C*-代数将原始丛的约化代数作为互补的全角子代数包含在内，将Quigg与Spielberg关于约化半直积的结果推广到了Fell丛的设定中。

ABSTRACT

We show that if E is an equivalence of upper semicontinuous Fell bundles B and C over groupoids, then there is a linking bundle L(E) over the linking groupoid L such that the full cross-sectional algebra of L(E) contains those of B and C as complementary full corners, and likewise for reduced cross-sectional algebras. We show how our results generalise to groupoid crossed-products the fact, proved by Quigg and Spielberg, that Raeburn's symmetric imprimitivity theorem passes through the quotient map to reduced crossed products.

研究动机与目标

• 将Quigg与Spielberg关于约化半直积的结果推广至群胚上的Fell丛设定。
• 建立Muhly与Williams所构造的全Fell丛C*-代数之间的Morita等价是否可下移至约化水平。
• 在链接群胚上构造一个链接丛，使其约化截面代数将原始丛的约化代数实现为互补的全角子代数。
• 证明实现约化等价性的严格双模作为全代数的Muhly-Williams双模的商模而出现。

提出的方法

• 在链接群胚 $ \mathcal{L} $ 上构造一个链接丛 $ L(\mathscr{E}) = \mathscr{B} \sqcup \mathscr{E} \sqcup \mathscr{E}^{\mathrm{op}} \sqcup \mathscr{C} $，其中 $ \mathscr{E} $ 是Fell丛 $ \mathscr{B} $ 与 $ \mathscr{C} $ 之间的等价。
• 定义纤维乘法运算 $ \mathscr{B} * \mathscr{E} \to \mathscr{E} $ 与 $ \mathscr{E} * \mathscr{C} \to \mathscr{E} $，使其与丛结构相容，并作为严格双模实现纤维之间的同构。
• 在紧支撑截面空间 $ \Gamma_c(L; L(\mathscr{E})) $ 上赋予类似于 $ 2 \times 2 $ 块代数的矩阵分解，以反映链接结构。
• 证明 $ \Gamma_c(L; L(\mathscr{E})) $ 上的约化范数限制到对应于 $ \mathscr{B} $ 与 $ \mathscr{C} $ 的子代数上的约化范数。
• 证明 $ L(\mathscr{E}) $ 的约化截面代数通过链接群胚的单位关联的投影，将 $ C^*_r(\mathscr{B}) $ 与 $ C^*_r(\mathscr{C}) $ 作为互补的全角子代数包含在内。
• 证明约化代数之间的Morita等价双模同构于全代数的Muhly-Williams双模的商模，通过 $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 上的恒等映射保持范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Muhly与Williams所建立的全Fell丛C*-代数之间的Morita等价是否可下移至约化C*-代数？
• RQ2 能否在链接群胚上通过链接丛构造，将等价Fell丛的约化截面代数实现为互补的全角子代数？
• RQ3 实现约化等价性的严格双模是否同构于全双模的商模？
• RQ4 链接代数上的约化范数与原始丛上的约化范数之间有何关系？
• RQ5 约化半直积的对称性施瓦兹定理在多大程度上可推广至Fell丛系统？

主要发现

• 链接群胚 $ \mathcal{L} $ 上的链接丛 $ L(\mathscr{E}) $ 的截面代数分解为一个 $ 2 \times 2 $ 矩阵代数，其元素分别属于 $ \Gamma_c(G; \mathscr{B}) $、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $、$ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}^{\mathrm{op}}) $ 与 $ \Gamma_c(H; \mathscr{C}) $。
• $ L(\mathscr{E}) $ 的约化截面代数通过投影 $ \mathfrak{p}_G $ 与 $ \mathfrak{p}_H $ 将 $ C^*_r(\mathscr{B}) $ 与 $ C^*_r(\mathscr{C}) $ 作为互补的全角子代数包含在内。
• 约化代数之间的Morita等价双模被实现为 $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 在约化范数下的完备化，且该完备化同构于全代数的Muhly-Williams双模的商模。
• 约化等价双模上的范数与链接代数中卷积公式的诱导范数一致，如通过 $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 上的恒等映射所示。
• 该结果将Quigg与Spielberg关于约化半直积的定理推广至Fell丛设定，表明对称性施瓦兹定理可下移至约化水平。
• 该构造提供了一个统一框架，使经典群胚等价图景、链接群胚与约化C*-代数结构之间完全相容。