[论文解读] An equivariant Atiyah-Patodi-Singer index theorem for proper actions

Peter Hochs, Bai‐Ling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Advanced Operator Algebra Research被引用 5

一句话总结

本文建立了针对局部紧且单群的无幺群在具有边界的黎曼流形上的适当等距作用的等变Atiyah-Patodi-Singer指标定理，其中商空间是紧致的。通过在共轭类上引入轨道积分的迹，证明了指标属于约化群C*-代数的K-理论，从而推广了Baum-Connes映射与经典APS指标定理，且在恒等元、具有多项式增长共轭类的有限生成离散群以及具有半单元素的半单李群的情况下验证了其有效性。

ABSTRACT

Consider a proper, isometric action by a unimodular locally compact group $G$ on a Riemannian manifold $M$ with boundary, such that $M/G$ is compact. Then an equivariant Dirac type operator on $M$ under a suitable boundary condition has an equivariant index in the $K$-theory of the reduced group $C^*$-algebra $C^*_rG$ of $G$, which is a common generalisation of the Baum-Connes analytic assembly map and the (equivariant) Atiyah-Patodi-Singer index. Using a trace on a suitable subalgebra of $C^*_rG$, defined by the orbital integral over the conjugacy class of an element $g \in G$, we prove an equivariant Atiyah-Patodi-Singer index theorem in this setting. We first state general analytic conditions under which this theorem holds, and then show that these conditions are satisfied if $g=e$ is the identity element; if $G$ is a finitely generated, discrete group, and the conjugacy class of $g$ has polynomial growth; and if $G$ is a connected, linear, real semisimple Lie group, and $g$ is a semisimple element. In the classical case, where $M$ is compact and $G$ is trivial, our arguments reduce to a relatively short and simple proof of the original Atiyah-Patodi-Singer index theorem.

研究动机与目标

• 将Atiyah-Patodi-Singer指标定理推广至具有边界的流形上适当等距群作用的情形。
• 在适当的边界条件下，为Dirac型算子在约化群C*-代数 $ C^*_rG $ 的K-理论中定义一个等变指标。
• 通过基于群元素共轭类上轨道积分定义的迹，建立一个指标定理。
• 在特定情况下验证定理所需的分析条件：恒等元、具有多项式增长共轭类的离散群，以及具有半单元素的半单李群。
• 当 $ G $ 为平凡群且 $ M $ 为紧致时，恢复经典Atiyah-Patodi-Singer定理作为特例。

提出的方法

• 本文在适当的边界条件下，为具有边界的流形上的Dirac型算子在 $ K_0(C^*_rG) $ 中构造了一个等变指标。
• 通过在群元素 $ g \in G $ 的共轭类上积分，利用轨道积分，在 $ C^*_rG $ 的子代数上引入了一个迹。
• 在一般分析条件下推导出指标定理，随后在三种特定情况下验证了这些条件：$ g = e $，具有多项式增长共轭类的离散群，以及连通实半单李群中的半单元素。
• 证明依赖于约化群C*-代数的结构以及该迹的性质，将指标与群元素的轨道积分联系起来。
• 该框架在单一指标理论框架内统一了Baum-Connes分析装配映射与经典等变APS指标定理。
• 在经典情形（$ G $ 为平凡群，$ M $ 为紧致）下，该方法简化为对原始Atiyah-Patodi-Singer定理的简洁证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Atiyah-Patodi-Singer指标定理扩展至具有边界的流形上适当等距群作用的情形，其中商空间是紧致的？
• RQ2 在定义一个使等变指标定理成立的迹时，共轭类上的轨道积分起到什么作用？
• RQ3 在何种群 $ G $ 及元素 $ g \in G $ 的条件下，指标定理的分析要求能够满足？
• RQ4 所提出的框架如何统一Baum-Connes装配映射与经典APS指标定理？
• RQ5 该广义指标定理是否可作为经典Atiyah-Patodi-Singer定理的特例被恢复？

主要发现

• 在适当等距群作用且商空间紧致的条件下，具有边界的流形上Dirac型算子的等变指标属于约化群 $ C^* $-代数 $ C^*_rG $ 的K-理论。
• 通过群元素 $ g \in G $ 的共轭类上的轨道积分定义的迹，建立了指标定理，该迹对单群局部紧群是良定义的。
• 当 $ g = e $（恒等元）时，指标定理的分析条件成立。
• 对于有限生成的离散群，若 $ g $ 的共轭类具有多项式增长，则条件成立。
• 对于连通、线性、实半单李群，当 $ g $ 为半单元素时，条件成立。
• 在经典情形下（$ G $ 为平凡群且 $ M $ 为紧致），该方法给出了原始Atiyah-Patodi-Singer指标定理的简洁证明。