[论文解读] An equivariant index for proper actions II: properties and applications

Peter Hochs, Yanli Song|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文為非紧致李群在非紧致流形上的正规作用建立了等变指标，推广了布雷瓦曼对紧致群的结果。证明了其诱导性质，将该指标与 K-同调的狄拉克诱导联系起来，并表明在适当条件下，即使群和轨道空间均为非紧致，该指标也满足“量子化与约化可交换”原理。

ABSTRACT

In the first part of this series, we defined an equivariant index without assuming the group acting or the orbit space of the action to be compact. This allowed us to generalise an index of deformed Dirac operators, defined for compact groups by Braverman. In this paper, we investigate properties and applications of this index. We prove that it has an induction property that can be used to deduce various other properties of the index. In the case of compact orbit spaces, we show how it is related to the analytic assembly map from the Baum-Connes conjecture, and an index used by Mathai and Zhang. We use the index to define a notion of K-homological Dirac induction, and show that, under conditions, it satisfies the quantisation commutes with reduction principle.

研究动机与目标

• 将等变指标理论推广至非紧致李群在非紧致流形上的作用，其中现有方法失效。
• 建立统一的指标框架，同时推广紧致群结果（布雷瓦曼）与紧致轨道空间结果（包姆–孔内斯）。
• 证明在非紧致设定下，该指标满足“量子化与约化可交换”原理。
• 在轨道空间紧致时，将该指标与解析组装映射及马太–张指标联系起来。
• 利用新指标在康尼斯–卡斯帕罗夫猜想的框架下定义 K-同调狄拉克诱导同构。

提出的方法

• 在交叉积代数 $ C_0(G/K) \rtimes G $ 的 K-同调中定义 G-指标，通过莫里塔等价识别为 $ \widehat{R}(K) $。
• 证明诱导性质：G-指标可从 $ M = G \times_K N $ 中的 K-不变切片 $ N \subset M $ 提升，以 $ N $ 上的数据表达指标。
• 利用诱导性质，推导在轨道空间紧致情形下与解析组装映射及马太–张指标的关系。
• 通过 G-指标在 $ \widehat{R}(K) $ 中构造狄拉克诱导的版本，推广康尼斯–卡斯帕罗夫同构。
• 将该指标应用于 $ T^*(G/K) $，展示其在非紧致设定下的实用性。
• 利用向量场 $ v^\psi $ 的 $ G $-正规性及其哈密顿量零点集，通过局部化方法定义并计算指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非紧致李群在非紧致流形上的正规作用定义等变指标？
• RQ2 G-指标是否满足诱导性质，使其在 $ M $ 上的值可由 $ K $-不变切片 $ N \subset M $ 上的数据表示？
• RQ3 当 $ M/G $ 紧致时，G-指标如何与解析组装映射及马太–张指标关联？
• RQ4 在非紧致设定下，G-指标是否满足“量子化与约化可交换”原理？
• RQ5 能否利用 G-指标在康尼斯–卡斯帕罗夫框架下定义 K-同调狄拉克诱导同构？

主要发现

• 对于几乎连通李群在黎曼流形上的正规等距作用，即使 $ G $ 与 $ M/G $ 均为非紧致，G-指标仍为良好定义。
• 诱导性质允许通过切片 $ N \subset M $（其中 $ M = G \times_K N $）计算 G-指标，并以 $ N $ 上的 $ K $-指标表达 $ \widehat{R}(K) $ 中的指标。
• 当 $ M/G $ 紧致时，G-指标与解析组装映射及马太–张指标相关；在 $ G $ 为半单群且具有离散系列的情形下，组装映射可直接由 G-指标恢复。
• 对于 $ G/K $ 为偶数维且具有等变 $ \operatorname{Spin} $-结构的李群 $ G $，G-指标满足 $ \operatorname{Spin}^c $-量子化与约化可交换原理：$ m_\lambda = \sum_\nu n^\nu_\lambda Q(M_{\nu + \rho}) $。
• G-指标在 $ \widehat{R}(K) $ 中定义了狄拉克诱导的一种版本，推广了康尼斯–卡斯帕罗夫同构至非紧致群。
• 即使 $ \operatorname{Zeroes}(v^\psi)/G $ 为非紧致，只要 $ \psi $ 是 $ G $-正规的，指标仍为良好定义，将紧致情形的结果推广至非紧致设定。