[论文解读] An equivariant index theorem for hypoelliptic operators

Denis Perrot, Rudy Rodsphon|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文针对具有离散群作用的叶状流形上的拟椭圆微分 operators 建立了一个等变指标定理，利用局部化算子迹与 Connes-Moscovici 余项，导出循环上同调中的局部公式。关键结果是：在不依赖猜想性 Hopf 代数方法的前提下，给出了拟椭圆符号算子的 Chern-Connes 示性类的直接显式公式，该公式以海森堡余球丛上的等变特征类表示，从而解决了 Connes-Moscovici 的横截指标问题。

ABSTRACT

Let M be a foliated manifold and G a discrete group acting on M by diffeomorphisms mapping leaves to leaves. Then G naturally acts by automorphisms on the algebra of Heisenberg pseudodifferential operators on the foliation. Our main result is an index theorem for hypoelliptic-type operators which belong to the crossed product of the Heisenberg pseudodifferential operators with the group G. As a corollary, we get a solution to Connes-Moscovici's transverse problem in arbitrary codimensions, by exhibiting an explicit formula in terms of characteristic classes of equivariant vector bundles over M, for the Chern-Connes character associated to their hypoelliptic signature operator.

研究动机与目标

• 在不假设黎曼结构或不变测度的前提下，为叶状流形上的一般群作用下的拟椭圆微分 operators 建立等变指标理论。
• 通过给出 Chern-Connes 示性类的显式公式，解决任意余维数下 Connes-Moscovici 的横截指标问题。
• 用海森堡微分算子理论与局部化迹的直接几何方法，取代间接的 Hopf 代数方法。
• 通过 Connes-Moscovici 余项与循环上同调中的消去法，建立拟椭圆算子指标与等变特征类之间的联系。

提出的方法

• 作者从离散群 $G$ 在叶状流形 $M$ 上的作用（保持叶不变的微分同胚）出发，构造了交叉积代数 $\Psi_{H,c}(M)\rtimes G$。
• 他们在交叉积中光滑算子理想的局部化算子迹 $\mathrm{Tr}_{[1]}$ 上引入了关注 $G$ 的单位元的迹。
• 主要技术工具是周期循环上同调中的边界映射 $\partial: \mathrm{HP}^0(\Psi^{-\infty}_c(M)\rtimes G) \to \mathrm{HP}^1(\mathcal{S}_{H,c}^0(M)\rtimes G)$。
• 他们证明 $\partial([\mathrm{Tr}_{[1]}])$ 由涉及拟椭圆子拉普拉斯算子 $\Delta_H^{1/4}$ 的对数换位子的等变 Radul 上循环表示。
• 该构造利用海森堡余球丛 $S^*_H M$ 上的 Connes-Moscovici 余项，得到以形式符号表示的局部公式。
• 最终识别通过从等变上同调到循环上同调的特征映射 $\Phi$ 与沿投影 $\pi: S^*_H M \to M$ 的推出映射 $\pi_*$ 完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假设黎曼度量或不变测度等几何结构的前提下，为叶状流形上拟椭圆微分 operators 的等变指标定理建立形式？
• RQ2 能否在不依赖 Gelfand-Fuchs 猜想的前提下，显式计算拟椭圆符号算子的 Chern-Connes 示性类？
• RQ3 局部化算子迹在海森堡伪微分算子交叉积代数的消去映射中起什么作用？
• RQ4 Connes-Moscovici 余项在海森堡余球丛上如何在群作用存在时捕捉指标？
• RQ5 指标理论能否在同伦商空间 $EG \times_G S^*_H M$ 上的等变上同调类中完全实现？

主要发现

• 局部化算子迹的边界 $\partial([\mathrm{Tr}_{[1]}])$ 由涉及拟椭圆子拉普拉斯算子对数换位子的 Connes-Moscovici 余项的等变 Radul 上循环表示。
• 拟椭圆符号算子的 Chern-Connes 示性类由 $\mathrm{ch}(H,F) = \pi_* \circ \Phi(L'(M))$ 给出，其中 $L'(M) = \mathrm{Td}(TM \otimes \mathbb{C}) \cup \mathrm{ch}(E_+)$。
• 类 $L'(M)$ 是在同伦商空间 $EG \times_G S^*_H M$ 上构造的闭的、$G$-不变微分形式，通过正特征空间丛 $E_+$ 上的陈-外尔理论实现。
• 在矩阵代数识别下，消去映射 $\partial([\mathrm{Tr}])$ 在 $HP^1(C^\infty_c(S^*_H M) \rtimes G)$ 中的像等于 $\mathrm{tr}\# \Phi(\pi^* \mathrm{Td}(TM \otimes \mathbb{C}))$。
• 当 $G$ 无不动点作用时，有 $\partial([\mathrm{Tr}]) = \partial([\tau])$，因此局部化迹捕捉了完整的指标信息。
• 最终的指标公式通过扭转 Todd 类与 $G$-不变投影算子 $e$ 的陈特征，经由特征映射得到完整的 Chern-Connes 示性类。