[论文解读] An Eulerian approach to the simulation of deformable solids: Application to finite-strain elasticity

Ken Kamrin, Jean‐Christophe Nave|ArXiv.org|Jan 24, 2009

Elasticity and Material Modeling参考文献 12被引用 11

一句话总结

本论文提出了一种新颖的欧拉型计算方法，通过使用追踪材料质点初始位置到当前位置的参考映射场，用于模拟超弹性固体中的大应变变形。该方法在无需拉格朗日网格化或近似的情况下，实现了静态和动态有限应变弹性的高精度、二阶精度模拟，与解析解对比验证，收敛率为1.97–1.99。

ABSTRACT

We develop a computational method based on an Eulerian field called the "reference map", which relates the current location of a material point to its initial. The reference map can be discretized to permit finite-difference simulation of large solid-like deformations, in any dimension, of the type that might otherwise require the finite element method. The generality of the method stems from its ability to easily compute kinematic quantities essential to solid mechanics, that are elusive outside of Lagrangian frame. This introductory work focuses on large-strain, hyperelastic materials. After a brief review of hyperelasticity, a discretization of the method is presented and some non-trivial elastic deformations are simulated, both static and dynamic. The method's accuracy is directly verified against known analytical solutions.

研究动机与目标

• 开发一种完全欧拉化的框架，用于模拟类似固体材料中的大应变变形，而无需依赖拉格朗日有限元方法。
• 通过引入参考映射，克服将固体本构定律转换为欧拉率形式的数学复杂性，从而保持运动学保真度。
• 在欧拉框架中实现对变形梯度及其他关键固体力学量的精确计算，避免先前方法中常见的近似。
• 在非平凡的静态和动态弹性变形问题上验证该方法，包括最大应变达36%的传播压缩波。
• 为未来将该方法扩展至更复杂的材料模型（如弹塑性及流固耦合）奠定基础。

提出的方法

• 该方法采用参考映射场 $\boldsymbol{\xi}(\mathbf{x},t)$，将当前空间位置 $\mathbf{x}$ 反向映射至其初始材料坐标 $\mathbf{X}$，从而实现在欧拉框架中追踪材料历史。
• 变形梯度 $\mathbf{F}$ 通过参考映射的梯度计算得到，即 $\mathbf{F} = \nabla_{\mathbf{x}} \boldsymbol{\xi}^{-1}$，从而可直接获取固体力学中关键的运动学量。
• 参考映射的演化由基于速度场的输运方程控制，即 $\partial_t \boldsymbol{\xi} + \mathbf{v} \cdot \nabla \boldsymbol{\xi} = 0$，确保与流体型对流的一致性。
• 采用二阶精度的有限差分格式进行空间和时间离散化，并使用龙格-库塔时间积分器以保持稳定性和精度。
• 通过参考映射计算的变形梯度来应用本构定律（如超弹性），实现在欧拉框架中的应力计算。
• 边界条件通过参考映射施加，建议通过与无压流相的相互作用来实现自由牵引条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够通过完全欧拉化的框架，在无需拉格朗日网格化或近似的情况下，准确模拟大应变弹性变形？
• RQ2 在欧拉框架中，如何可靠地计算类似固体材料的运动学量（如变形梯度）？
• RQ3 与静态和动态变形的解析解相比，该方法的收敛率和精度如何？
• RQ4 参考映射公式能否处理非平凡的大变形问题，如最大应变达36%的传播压缩波？
• RQ5 该方法如何扩展至更复杂的材料行为（如弹塑性及流固耦合）？

主要发现

• 该方法在位移场和速度场中均实现了全局二阶收敛，两个最细网格之间的收敛率分别为 $\xi$ 的1.97和速度的1.99。
• 即使在粗网格（$h = 2/10$）上，传播压缩波的数值解与解析解高度吻合，验证了方法的鲁棒性与精度。
• 波脉冲中的最大压缩应变约为36%，证明了该方法能够处理大有限应变变形。
• 参考映射使得在欧拉框架中精确计算变形梯度及其他运动学变量成为可能，消除了本构定律公式化过程中常见的近似。
• 该方法成功实现了静态和动态弹性变形的高精度模拟，并通过已知的解析解进行了验证。
• 初步结果表明，该方法在未来的弹塑性及流固耦合模拟扩展中具有广阔前景。