[论文解读] An exact algorithm for biobjective integer programming problems

Saliha Doğan, Özlem Karsu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2019

Vehicle Routing Optimization Methods被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于双目标整数规划（BOIP）的精确算法，利用Pascoletti-Serafini标量化方法系统地探索目标空间中的盒子区域，并识别所有非支配解。该方法通过动态调整参考点和方向向量，提升解集的代表性，尤其在时间限制下表现更优，并且在覆盖度和超体积差距指标上优于现有算法，同时求解的整数规划问题更少。

ABSTRACT

We propose an exact algorithm for solving biobjective integer programming problems, which arise in various applications of operations research. The algorithm is based on solving Pascoletti-Serafini scalarizations to search specified regions (boxes) in the objective space and returns the set of nondominated points. We implement the algorithm with different strategies, where the choices of the scalarization model parameters and splitting rule differ. We then derive bounds on the number of scalarization models solved; and demonstrate the performances of the variants through computational experiments both as exact algorithms and as solution approaches under time restriction. The experiments demonstrate that different strategies have advantages in different aspects: while some are quicker in finding the whole set of nondominated solutions, others return good-quality solutions in terms of representativeness when run under time restriction. We also compare the proposed approach with existing algorithms. The results of our experiments show the satisfactory behaviour of our algorithm, especially when run under time limit, as it achieves better coverage of the whole frontier with a smaller number of solutions compared to the existing algorithms.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解双目标整数规划（BOIP）问题的精确算法，确保完全识别非支配解集。
• 探究Pascoletti-Serafini标量化中不同参数选择与分割规则对计算效率和解集质量的影响。
• 在时间限制下评估算法性能，重点关注覆盖误差和超体积差距等代表性指标。
• 与现有方法（如平衡盒子法和epsilon-约束法）在解集质量与计算成本方面进行比较。

提出的方法

• 该算法使用Pascoletti-Serafini标量化方法，通过参考点和方向向量求解标量化混合整数规划问题，以定位目标空间中指定区域（盒子）内的非支配点。
• 采用基于盒子的分解策略，递归地将目标空间划分为更小的盒子，以确保对非支配前沿的完全覆盖。
• 通过改变参考点选择方式（例如使用现有非支配点）和方向向量策略（例如固定方向向量(1,1)T或基于对角线的方向），实现不同变体。
• 该算法证明了其收敛性，并提供了求解标量化问题数量的理论界，确保了完备性。
• 使用缩放超体积差距（SHG）和覆盖误差（CE/SCE）来定量评估时间限制下解集的代表性。
• 计算实验在精确求解和时间限制两种设置下，将该算法与现有方法（包括平衡盒子算法）进行了比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双目标整数规划中，Pascoletti-Serafini标量化中的不同参数选择（特别是参考点选择和方向向量）如何影响算法的效率和解集质量？
• RQ2 不同算法变体在求解整数规划问题数量与计算时间之间存在何种权衡？哪种策略能实现最佳平衡？
• RQ3 在时间限制下，该算法在解集代表性（以覆盖误差和超体积差距衡量）方面与现有算法相比表现如何？
• RQ4 标量化中使用基于对角线的方向向量是否能以更少的标量化次数获得更具代表性的解集，尤其是在时间受限时？
• RQ5 双目标整数规划中，完全探索非支配解集所需标量化问题数量的理论边界是什么？

主要发现

• 基于使用现有非支配点定义盒子的算法变体，在解集质量和计算效率方面优于其他变体，尤其在时间限制下表现更优。
• 使用固定方向向量(1,1)T会增加求解的整数规划问题数量，但因减少了复杂标量化次数而显著降低计算时间。
• 将方向向量设置为搜索盒子的对角线方向，可在时间限制下生成高度代表性的解集子集，其覆盖误差和超体积差距优于竞争算法。
• 在时间限制下，所提算法在非支配前沿覆盖度方面优于平衡盒子算法，对KP实例平均求解的整数规划问题减少25.5%，对AP实例减少36.5%。
• 该算法在代表性指标上表现持续更优：例如，在KP实例的D类中，其缩放超体积差距（SHG）为0.0765（时间限制下），而平衡盒子算法为0.1182。
• 在对比实验中，所提算法（CN）在所有时间限制下均实现优于或相当的覆盖度和超体积差距，且随着计算时间增加，与平衡盒子算法（BB）的性能差距逐渐缩小。