[论文解读] An exact and explicit formula for pricing Asian options with regime switching

Leunglung Chan, Song‐Ping Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文在两状态 regime-switching 模型下，推导出欧式浮动行权价亚式期权定价的精确、闭式解析公式，其中标的资产遵循马氏调制几何布朗运动。通过同伦分析法（HAM），作者求解了一组耦合偏微分方程，获得显式解，首次为该类路径依赖期权在 regime-switching 框架下提供了精确且显式的公式。

ABSTRACT

This paper studies the pricing of European-style Asian options when the price dynamics of the underlying risky asset are assumed to follow a Markov- modulated geometric Brownian motion; that is, the appreciation rate and the volatility of the underlying risky asset depend on unobservable states of the economy described by a continuous-time hidden Markov process. We derive the exact, explicit and closed-form solutions for European-style Asian options in a two-state regime switching model.

研究动机与目标

• 解决在 regime-switching 模型下亚式期权缺乏闭式解的问题，该模型比标准 Black-Scholes 框架更具现实性。
• 使用马氏调制几何布朗运动建模资产价格动态，其中漂移和波动率根据不可观测的经济状态在两个状态间切换。
• 在 regime-switching 框架下推导浮动行权价亚式期权的解析解，实现精确的定价与对冲。
• 在 regime-switching 模型下建立固定行权价与浮动行权价亚式期权之间的对称关系，扩展了 Black-Scholes 框架下的已知结果。
• 为数值方法及 regime-switching 动态下路径依赖期权定价的进一步研究提供基准。

提出的方法

• 将标的资产价格建模为马氏调制几何布朗运动，其中参数（漂移与波动率）由连续时间有限状态马氏链控制，在两个状态间切换。
• 将定价问题表述为在每种状态下的耦合偏微分方程组（PDEs），基于风险中性测度下的 Feynman-Kac 公式推导得出。
• 应用同伦分析法（HAM）迭代求解 PDE 系统，将非线性问题转化为一系列具有已知格林函数解的线性 PDE。
• 利用带有吸收与反射项的热方程格林函数表示，结合指数加权与互补误差函数，处理边界条件。
• 通过涉及互补误差函数（erfc）与时空加权的基本解，推导每种状态下的期权价值递归积分解。
• 通过改变计价单位并利用 regime-switching 下 PDE 系统的结构，建立固定行权价与浮动行权价亚式期权之间的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标的资产遵循 regime-switching 几何布朗运动时，能否为浮动行权价亚式期权推导出精确的闭式解？
• RQ2 同伦分析法（HAM）如何实现对 regime-switching 期权定价模型中出现的耦合 PDE 的解析解推导？
• RQ3 在 regime-switching 框架下，固定行权价与浮动行权价亚式期权之间存在何种关系？是否类似于 Black-Scholes 框架下的对称性成立？
• RQ4 regime-switching 参数（转移强度、漂移、波动率）与标准 Black-Scholes 模型相比，如何影响亚式期权的价格？
• RQ5 所推导的解析公式对路径依赖期权在状态变化市场中的风险管理与对冲有何启示？

主要发现

• 本文首次推导出在两状态 regime-switching 模型下，欧式浮动行权价亚式期权的精确、显式且闭式的解析定价公式。
• 解通过同伦分析法（HAM）构建，该方法将耦合 PDE 系统转化为一系列具有已知格林函数的可解线性 PDE。
• 所得定价公式包含使用互补误差函数（erfc）、空间积分及依赖于状态特定参数的指数加权项的递归积分表达式。
• 建立了固定行权价与浮动行权价亚式期权之间的对称性：在适当的行权价与初始股价变换下，浮动行权价看涨期权价格等于固定行权价看跌期权价格。
• 该解对算术平均亚式期权有效，并在 regime-switching 参数设为常数值时与 Black-Scholes 模型中的已知结果保持一致。
• 该方法为在 regime-switching 动态下扩展其他路径依赖期权的解析定价提供了系统性框架，并为数值验证提供了基准。