[论文解读] An exact general remeshing scheme applied to conservative voxelization

Devon Powell, Tom Abel|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对多面体单元上多项式函数的稳健、精确的重网格化方案，通过凸多面体裁剪与单形分解计算解析积分，确保质量、动量和能量的全局守恒。该方法保证了输入四面体网格与输出结构化笛卡尔网格之间体积积分的等价性，展现出显著的性能提升与数值稳定性。

ABSTRACT

We present an exact general remeshing scheme to compute analytic integrals of polynomial functions over the intersections between convex polyhedral cells of old and new meshes. In physics applications this allows one to ensure global mass, momentum, and energy conservation while applying higher-order polynomial interpolation. We elaborate on applications of our algorithm arising in the analysis of cosmological N-body data, computer graphics, and continuum mechanics problems. We focus on the particular case of remeshing tetrahedral cells onto a Cartesian grid such that the volume integral of the polynomial density function given on the input mesh is guaranteed to equal the corresponding integral over the output mesh. We refer to this as physically conservative voxelization. At the core of our method is an algorithm for intersecting two convex polyhedra by successively clipping one against the faces of the other. This algorithm is an implementation of the ideas presented abstractly by Sugihara (1994), who suggests using the planar graph representations of convex polyhedra to ensure topological consistency of the output. This makes our implementation robust to geometric degeneracy in the input. We employ a simplicial decomposition to calculate moment integrals up to quadratic order over the resulting intersection domain. We also address practical issues arising in a software implementation, including numerical stability in geometric calculations, management of cancellation errors, and extension to two dimensions. In a comparison to recent work, we show substantial performance gains. We provide a C implementation intended to be a fast, accurate, and robust tool for geometric calculations on polyhedral mesh elements.

研究动机与目标

• 开发一种通用的重网格化方案，确保在网格转换过程中物理量的精确守恒。
• 通过在网格转换中保持积分值不变，实现在物理模拟中的保守高阶多项式插值。
• 解决多面体交集计算中的几何退化与数值不稳定性问题。
• 提供一种快速、精确且稳健的C语言实现，用于多面体网格单元的几何计算。
• 将该方法扩展至二维应用，同时保持拓扑一致性与数值精度。

提出的方法

• 该方法通过依次将一个凸多面体与另一个的面进行裁剪，基于Sugihara（1994）的平面图表示法，实现交集的计算，以保证拓扑一致性。
• 采用交集区域的单形分解方法，高精度地计算至二次阶的矩积分。
• 该算法通过依赖抽象多面体表示与一致的拓扑处理，对几何退化具有鲁棒性。
• 通过在几何运算中仔细管理浮点数运算中的抵消误差，增强数值稳定性。
• 该方法支持三维四面体到笛卡尔网格的重网格化，以及保持几何与拓扑行为一致的二维扩展。
• 提供了经过优化的C语言实现，专为保守几何计算中的性能与精度而设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在旧网格单元与新网格单元的交集上精确计算多项式函数的解析积分，以确保守恒性？
• RQ2 何种算法方法能在多面体裁剪过程中，面对几何退化情况，仍确保拓扑一致性与鲁棒性？
• RQ3 如何高效且准确地计算复杂交集区域上至二次阶的矩积分？
• RQ4 与近期其他方法相比，该方法在性能与数值稳定性方面实现了哪些改进？
• RQ5 该方法在何种方式下可扩展至二维应用，同时保持精度与鲁棒性？

主要发现

• 所提出的重网格化方案在输入四面体网格与输出笛卡尔网格之间实现了体积积分的精确守恒，确保了模拟中的物理一致性。
• 平面图表示法的使用实现了拓扑鲁棒性，使该方法对输入网格中的几何退化具有强健性。
• 单形分解使得在复杂交集区域上高精度计算至二次阶的矩积分成为可能。
• 实现表明，与近期方法相比，该方法在性能上具有显著提升，同时具备更高的数值稳定性与更少的抵消误差。
• 该方法成功扩展至二维应用，几何计算中保持了精度与鲁棒性。
• 发布了一个可投入生产的C语言库，专为高性能与可靠性设计，适用于保守几何计算。