[论文解读] An exact tensor network for the 3SAT problem

Artur García-Sáez, José I. Latorre|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文构建了一个精确张量网络，用于编码一个3SAT实例的未归一化量子态，其中该态的系数对应于解。网络的收缩计算解的数目，使该任务处于#P-完全复杂度类，并表明寻找单个解仅需多项式数量的局部可观测量收缩。

ABSTRACT

We construct a tensor network that delivers an unnormalized quantum state whose coefficients are the solutions to a given instance of 3SAT, an NP-complete problem. The tensor network contraction that corresponds to the norm of the state counts the number of solutions to the instance. It follows that exact contractions of this tensor network are in the #P-complete computational complexity class, thus believed to be a hard task. Furthermore, we show that for a 3SAT instance with n bits, it is enough to perform a polynomial number of contractions of the tensor network structure associated to the computation of local observables to obtain one of the explicit solutions to the problem, if any. Physical realization of a state described by a generic tensor network is equivalent to finding the satisfying assignment of a 3SAT instance and, consequently, this experimental task is expected to be hard.

研究动机与目标

• 开发一种张量网络表示方法，将3SAT实例的所有解编码为未归一化量子态的系数。
• 证明通过张量网络收缩计算该态的范数可得出解的数目，使该任务处于#P-完全复杂度类。
• 表明获取显式解仅需相对于变量数量的多项式数量的局部可观测量收缩。
• 建立实现此类张量网络态的物理复杂度，将其与求解3SAT的困难性联系起来。

提出的方法

• 构建一个张量网络，其中每个3SAT子句由一个秩-3张量表示，其条目编码逻辑约束。
• 将这些子句张量组合成表示完整3SAT实例的全局张量网络。
• 定义网络的收缩以计算编码量子态的范数，其值等于满足赋值的数目。
• 使用局部可观测量收缩——特别是单量子比特投影算符的期望值——从态中提取单个解。
• 利用张量网络的结构，确保仅需多项式数量的此类收缩即可识别解（若存在）。
• 证明该构造的精确张量网络收缩的计算复杂度为#P-完全，表明其固有的困难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个张量网络，使其收缩结果等于3SAT实例的解的数目？
• RQ2 是否可能仅通过多项式数量的局部收缩从张量网络态中提取一个满足赋值？
• RQ3 该特定张量网络结构的收缩计算复杂度为何？
• RQ4 张量网络态的物理实现与求解3SAT的困难性有何关联？
• RQ5 该张量网络表述能否用于建立量子态制备的复杂性理论下界？

主要发现

• 张量网络将3SAT实例的所有解编码为未归一化量子态的系数。
• 张量网络的收缩计算出解的总数，使该任务处于#P-完全复杂度类。
• 寻找单个解仅需相对于变量数量的多项式数量的局部可观测量收缩。
• 张量网络态的物理制备在计算上等价于求解一个3SAT实例，因此预计是困难的。
• 该构造建立了张量网络收缩复杂度与3SAT解计数的#P-完全性之间的直接联系。
• 该方法提供了一个形式化框架，其中量子态制备对应于求解一个NP-完全问题。