[论文解读] An example of a differentiability space which is PI-unrectifiable

Andrea Schioppa|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文构建了一个Lipschitz可微空间，该空间为PI-不可分解的，即无法被分解为可数个与Poincaré不等式（PI）空间中正测度子集等距的子集。该空间在几乎每一点处具有不连通的切空间，尽管如此，实值与Hilbert空间值的Lipschitz映射在几乎处处可微，表明在无穷小意义下，Poincaré不等式并非可微性的必要条件。

ABSTRACT

We construct a (Lipschitz) differentiability space which has at generic points a disconnected tangent and thus does not contain positive measure subsets isometric to positive measure subsets of spaces admitting a Poincaré inequality. We also prove that $l^2$-valued Lipschitz maps are differentiable a.e., but there are also Lipschitz maps taking values in some other Banach spaces having the Radon-Nikodym property which fail to be differentiable on sets of positive measure.

研究动机与目标

• 为反驳所有可微空间均为PI-可分解（即可分解为可数个PI空间中正测度子集）的猜想，即证明存在不可分解的可微空间。
• 构造一个度量测度空间，使得Lipschitz映射到$l^2$几乎处处可微，即使该空间不包含任何与PI空间等距的子集。
• 证明几乎每一点处切空间的不连通性阻止了空间成为PI-可分解，因为已知PI空间是拟凸的，因而连通。
• 表明$l^2$-值映射的Rademacher型可微性并不蕴含PI-可分解性，从而挑战了Poincaré不等式在度量测度空间一阶微积分中的必要性。

提出的方法

• 空间$X_{∞}$通过一系列度量测度空间的逆极限构造而成，每个空间均由将三维胞腔加倍形成类似钻石的结构构成。
• 通过‘挤压’每个加倍胞腔中两个胞腔的中心，修改路径度量，从而在几乎每一点的切空间中破坏拓扑连通性。
• 采用泛函方法证明可微性：证明任何$l^2$-值Lipschitz映射必须以快于环境距离的速度压缩加倍胞腔中两中心之间的距离，基于PDE的压缩论证。
• 证明依赖于加权对称化技巧和一个调和函数能量估计（引理5.1），该估计在环形区域中从下界控制梯度的$L^2$-范数。
• 定义了‘坏立方体’条件，用于识别映射未能充分压缩门结构的立方体；此类立方体的测度通过仅依赖于映射Lipschitz常数的通用常数加以控制。
• 通过证明在几乎每一点处，映射相对于其梯度的振荡在尺度上趋于零，从而建立可微性，该证明在缺乏路径连通性的情况下使用了修改版的中间值定理论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 Poincaré不等式是否为度量测度空间中实值与Hilbert空间值Lipschitz映射几乎处处可微的必要条件？
• RQ2 是否存在一个可微空间不是PI-可分解的，即不包含任何与PI空间等距的正测度子集？
• RQ3 为支持Rademacher型可微定理，空间的哪些结构性质（如切空间的连通性）是必要的？
• RQ4 尽管当前构造的解析维数为3，该可微空间的解析维数能否降低至3以下？
• RQ5 在某些Banach空间值映射几乎处处不可微的空间中，$l^1$-和$l^2$-值映射的可微性之间存在何种关系？

主要发现

• 所构造的空间$(X_{∞}, \mu_{∞})$是一个可微空间，其中所有$l^2$-值Lipschitz映射在$\mu_{∞}$-几乎处处可微。
• 该空间为PI-不可分解，因为在$\mu_{∞}$-几乎处处的点上，其切空间在拓扑上不连通，而PI空间已知为拟凸的，因而连通。
• 通过基于调和函数能量估计的压缩论证，建立了$l^2$-值映射的可微性，表明映射必须以快于环境距离的速度压缩两胞腔中心之间的距离。
• ‘坏’立方体（即映射未能充分压缩门结构的立方体）的测度在Lipschitz常数的范围内被统一控制，且与$\varepsilon$无关。
• 该空间的解析维数为3，尽管推测其可降至1，但当前构造的Assouad-Nagata维数为3。
• 结果表明，Lip-lip不等式（蕴含可微性）并不蕴含PI-可分解性，从而反驳了所有可微空间均为PI-可分解的猜想。