[论文解读] An example of an almost greedy uniformly bounded orthonormal basis for $L_p([0,1])$

Morten Nielsen|ArXiv.org|Nov 28, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文为 $L_p([0,1])$，$1<p<\infty$ 构造了一个一致有界的正交基，该基几乎贪婪，表明奥尔利茨关于 $L_p$（$p\neq2$）不存在一致有界无条件基的定理并不适用于更广泛的几乎贪婪基类。该构造使用了经过修改的类似 Rademacher 的系统，其由分块结构的、归一化的类似 Haar 的函数组成，并依赖于 Khintchine 不等式和民主性质，以确保拟贪婪收敛。

ABSTRACT

We construct a uniformly bounded orthonormal almost greedy basis for $L_p([0,1])$, $1

研究动机与目标

• 为 $L_p([0,1])$，$1<p<\infty$ 构造一个一致有界的正交基，使其几乎贪婪，从而挑战该类基是否可扩展奥尔利茨定理的可能性。
• 证明即使在 $L_p$（$p\neq2$）中，一致有界的正交基无法成为无条件基，但其仍可为拟贪婪甚至几乎贪婪基。
• 提供一个在 $L_p$ 中支持收敛贪婪逼近的民主、一致有界、正交系统的具体实例。
• 表明经典系统（如三角函数系和 Walsh 系）不具有拟贪婪性，并不意味着 $L_p$ 中不存在此类基。

提出的方法

• 该构造基于 Haar 函数和类似 Rademacher 的函数，采用分块结构的正交系统，并通过针对 $L_p$-有界性进行的归一化处理。
• 该基通过将归一化的分块函数 $\phi_k / \sqrt{N_k}$ 与由内积 $\langle f, \psi_j^{(k)} \rangle$ 导出的系数相结合而形成。
• 应用 Khintchine 不等式以控制涉及 Rademacher 函数的随机和的 $L_p$-范数，从而确保民主性质。
• 通过比较相同大小集合上部分和的 $\ell_p$-范数，利用系数衰减和分块结构的估计，证明该系统具有民主性。
• 通过将逼近误差分解为三部分 $T$、$T'$ 和 $T''$，并分别证明其在递减重排下于 $L_p$ 中收敛，从而确立贪婪算法的收敛性。
• 证明利用对偶性：当 $1<q<2$ 时，选择 $p$ 使得 $1/p + 1/q = 1$，并利用双民主性质，将拟贪婪收敛性扩展至 $L_q$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $L_p([0,1])$，$1<p<\infty$，$p\neq2$，是否存在一个一致有界的正交基，尽管其无条件基失败，却仍为几乎贪婪基？
• RQ2 根据奥尔利茨定理，$L_p$（$p\neq2$）中不存在一致有界的无条件基，这一结论是否可推广至几乎贪婪基类？
• RQ3 一个民主、一致有界、正交的 $L_p$ 系统是否可支持收敛的贪婪逼近？
• RQ4 是否可使用经过修改的类似 Rademacher 或 Haar 的系统，通过控制 $L_p$-范数，构造出此类基？

主要发现

• 为 $L_p([0,1])$，$1<p<\infty$ 构造出一个一致有界的正交基，其为几乎贪婪基，直接反驳了奥尔利茨定理可能的推广。
• 通过在相同大小集合上对部分和的 $\ell_p$-范数施加一致有界性，证明了所构造的基具有民主性。
• 贪婪逼近算法在所有 $f \in L_p$ 中于 $L_p$ 中收敛，从而确立该基为拟贪婪基。
• 收敛性通过将误差分解为三部分 $T$、$T'$ 和 $T''$ 证明，每部分均在 $L_p$ 中绝对或条件收敛。
• 该系统在 $L_p$ 和 $L_q$ 中均为双民主（$1<q<2$，$1/p + 1/q = 1$），从而可将拟贪婪收敛性扩展至 $L_q$。
• 该构造使用分块结构系统，每块含 $N_k$ 个元素，其中 $N_k$ 迅速增长，从而确保系数衰减与民主行为。