[论文解读] An example of failure of stochastic homogenization for viscous Hamilton-Jacobi equations without convexity

Jean-Baptiste Fermanian, Bruno Ziliotto+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 9

一句话总结

该论文表明，当哈密顿量不具凸性时，粘性哈密顿-雅可比方程的随机均轮化会失效，构造了一个二维具体例子，其中哈密顿量具有强制性、利普希茨连续性，且存在平稳、遍历的随机势。失效的原因在于哈密顿量中存在严格鞍点，导致有效哈密顿量无法定义，这与在凸性条件下已知的均轮化结果相矛盾。

ABSTRACT

We give an example of the failure of homogenization for a viscous Hamilton-Jacobi equation with non-convex Hamiltonian.

研究动机与目标

• 解决关于非凸哈密顿量下粘性哈密顿-雅可比方程是否成立随机均轮化这一开放问题。
• 将一阶情形下（非凸、一阶HJ）已知的均轮化失效结果推广至粘性情形。
• 在二维空间中构造一个具体反例，其哈密顿量具有严格鞍点，且存在平稳、遍历的随机势。
• 证明即使在有界、利普希茨连续正则性和强制性条件下，非凸情形下粘性情形的有效哈密顿量也无法定义。
• 表明此前在一阶情形下用于证明非均轮化的动态博弈构造方法，可被适配用于证明粘性方程中的非均轮化。

提出的方法

• 构造形如 $ H(p,x,\theta) = h(p) - c_\theta(x) $ 的哈密顿量，其中 $ h(p) $ 为强制函数且在 $ p_0 $ 处具有严格鞍点，$ c_\theta(x) $ 为平稳、遍历、有界且1-利普希茨的随机场。
• 通过 $ \mathbb{R}^2 $ 上的随机剖分构造随机场 $ c_\theta(x) $，将其划分为带交替符号的矩形，以确保势场的平稳性和遍历性。
• 基于零和微分博弈表示，使用上解与下解方法来界定解 $ u^\varepsilon $ 的长时间平均值。
• 构造一个上解 $ u^+ $，使其沿时间序列 $ T_k $ 以速率 $ -\frac{1}{2} + \eta $ 增长，利用存在大尺寸水平矩形且 $ c = -\frac{1}{2} $ 的特性。
• 通过 $ 90^\circ $ 旋转与符号反转，构造一个对称的下解 $ u^- $，表明在正概率集上 $ \limsup \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \geq \frac{1}{2} - \eta $。
• 应用比较原理，得出解无法收敛到确定性的有效哈密顿量，因为长时间平均值依赖于实现 $ \omega $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当哈密顿量为非凸时，粘性哈密顿-雅可比方程的随机均轮化是否成立？
• RQ2 一阶情形中观察到的均轮化失效能否推广到粘性情形？
• RQ3 是否存在一个非凸哈密顿量（具有严格鞍点）使得在粘性设定下均轮化失效？
• RQ4 此前在一阶非凸情形下用于证明非均轮化的动态博弈构造方法，能否被适配到粘性情形以证明非均轮化？
• RQ5 在粘性设定下，哈密顿量与随机环境的何种条件会阻止有效哈密顿量的存在？

主要发现

• 即使在哈密顿量具有强制性、利普希茨连续性和随机势有界性条件下，具有严格鞍点的非凸哈密顿量下，粘性哈密顿-雅可比方程的均轮化仍会失效。
• 解的长时间平均值 $ \frac{1}{T} u(T,0,\omega) $ 在正概率集上满足 $ \liminf \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \leq -\frac{1}{2} + \eta $，而在另一集合上满足 $ \limsup \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \geq \frac{1}{2} - \eta $，表明其不收敛到确定性极限。
• 有效哈密顿量 $ \bar{H} $ 不存在，因为解的渐近行为依赖于随机环境 $ \omega $，违反了均轮化的必要条件。
• 该构造依赖于 $ \mathbb{R}^2 $ 的对称随机剖分，将平面划分为带交替 $ c = \pm \frac{1}{2} $ 的矩形，以确保势场的平稳性和遍历性。
• 该反例具有鲁棒性且可推广：对任意 $ n \geq 2 $，若 $ h(p) $ 为强制函数且具有严格鞍点，则存在随机势 $ c(x) $ 使得均轮化失效。
• 失效的根本原因在于 $ h(p) $ 中的鞍点与随机环境之间的相互作用，其中解的增长率依赖于随机场的空间构型，从而阻止了确定性有效动力学的出现。