[论文解读] An example of non-uniqueness for Radon transforms with continuous positive rotation invariant weights

Fedor Goncharov, Roman Novikov|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

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一句话总结

本文构造了首个已知的在 $\mathbb{R}^3$ 中具有连续、严格正且旋转不变权函数的加权Radon变换，该权函数非单射——即在无限次光滑且紧支集函数空间中具有非平凡核。该例子揭示了此类变换的非唯一性，解决了关于权重更强光滑性假设是否为保证单射性所必需的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We consider weighted Radon transforms $R_W$ along hyperplanes in $R^3$ with strictly positive weights $W$. We construct an example of such a transform with non-trivial kernel $\\mathrm{Ker}R_W$ in the space of infinitely smooth compactly supported functions and with continuous weight. Moreover, in this example the weight $W$ is rotation invariant. In particular, by this result we continue studies of Quinto (1983), Markoe, Quinto (1985), Boman (1993) and Goncharov, Novikov (2017). We also extend our example to the case of weighted Radon transforms along two-dimensional planes in $R^d$ , $d \\geq 3$.

研究动机与目标

• 构造一个在 $\mathbb{R}^3$ 中具有连续、严格正且旋转不变权函数的加权Radon变换，使其在无限次光滑且紧支集函数空间中具有非平凡核。
• 将此非唯一性例子推广至 $d > 3$ 维空间中沿2-平面的加权Radon变换。
• 通过证明连续性和正性不足以保证单射性，解决关于权重连续性和正性是否足以保证单射性的开放问题。
• 在Boman（1993）和Goncharov-Novikov（2017）先前反例的基础上进行改进，这些反例缺乏连续性或旋转不变性。
• 提供一个反例，表明即使在连续性和正性条件下，权重的 $C^1$ 或更高阶光滑性也是保证单射性所必需的。

提出的方法

• 构造一个非零、球对称、无限次光滑且紧支集的函数 $f \in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$，使得 $R_W f \equiv 0$。
• 通过 $W(x,\theta) = U(|x - (x\cdot\theta)\theta|, x\cdot\theta)$ 定义一个旋转不变的权函数 $W(x,\theta)$，其中 $U$ 连续且正。
• 使用一组在单位球面附近支撑的函数 $f_k$，其振荡结构被调节以在超平面上实现积分相消。
• 利用傅里叶分析和振荡积分估计，证明加权变换在所有超平面上恒为零。
• 应用驻定相位法和分部积分技术，对变换中的误差项进行有界，确保其衰减快于任意多项式。
• 将构造方法推广至 $d > 3$ 维空间，沿二维平面应用变换，证明在过度确定情形下仍存在非单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^3$ 中，具有连续、严格正且旋转不变权函数的加权Radon变换是否可能具有非平凡核？
• RQ2 即使权重为正且旋转不变，权重的连续性是否足以保证Radon变换的单射性？
• RQ3 加权Radon变换的非唯一性现象能否推广至高维空间中沿2-平面的变换？
• RQ4 若权重在连续性之外缺乏光滑性，是否仍可能产生非单射行为，即使具有旋转不变性？
• RQ5 为保证Radon变换的单射性，权重所需的最小正则性条件是什么？

主要发现

• 本文构造了一个在 $\mathbb{R}^3$ 中连续、严格正且旋转不变的权函数 $W$，使得加权Radon变换 $R_W$ 在 $C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ 中具有非平凡核。
• 非平凡核中包含一个非零、球对称、无限次光滑且紧支集的函数 $f$，满足 $R_W f \equiv 0$。
• 权函数 $W$ 处处连续且满足 $W \geq c > 0$，但变换仍保持非单射。
• 该例子具有旋转不变性，是相较于Boman（1993）和Goncharov-Novikov（2017）先前反例的重要改进，后者缺乏此对称性。
• 该构造被推广至 $d > 3$ 维空间中沿2-平面的加权Radon变换，即使在问题过度确定的情形下，仍有 $R_W^{d,2} f \equiv 0$。
• 该方法依赖于精确的振荡积分估计和衰减界，表明由于加权积分中的抵消效应，变换在整体上恒为零。